分拆钩和秩的组合研究
整数分拆理论是组合数学中的一个重要研究方向,它在群论、概率论、数理统计及粒子物理等方面都有重要的应用。分拆统计量是分拆理论的一项重要研究课题,特别是统计量“钩”和“秩”。
分拆统计量“钩”得到了包括俄罗斯数学家A. Okounkov(2006年菲尔兹奖得主)在内的众多著名数学家的关注。最近几十年,它在代数组合学与群表示理论中被广泛地应用与讨论,众多钩长公式应运而生。
分拆秩最早是由著名物理学家F. Dyson提出,由G.E.Andrews和F. Gar van发现,用于组合解释著名的Ramanujan分拆同余式。本文主要通过构造变换和对合等组合方法研究了与钩长和Andrews-Garvan-Dyson秩有关的分拆函数。
我们首先计算了权重为n的分拆所含有的κ-hook的个数的最大值b(n,k),并给出了它的生成函数。接下来,我们用组合方法得到了权重为n且Andre ws-G arvan-Dyson秩不大于给定非负整数t的分拆函数M(≤t；n)的生成函数。
最后利用m阶子分拆的概念我们给出了M(≤t；n)的一个新的组合解释。本文共分为三章。
第一章介绍了分拆理论的基 ...