在自然科学或社会科学研究中,存在着许多定义不很严格或者说具有模糊性的概念。这里所谓的模糊性，主要是指客观事物的差异在中间过渡中的不分明性，如某一生态条件对某种害虫、某种作物的存活或适应性可以评价为“有利、比较有利、不那么有利、不利”；灾害性霜冻气候对农业产量的影响程度为“较重、严重、很严重”，等等。这些通常是本来就属于模糊的概念，为处理分析这些“模糊”概念的数据，便产生了模糊集合论。

根据集合论的要求，一个对象对应于一个集合，要么属于，要么不属于，二者必居其一，且仅居其一。这样的集合论本身并无法处理具体的模糊概念。为处理这些模糊概念而进行的种种努力，催生了模糊数学。模糊数学的理论基础是模糊集。模糊集的理论是1965年美国自动控制专家查德(L. A. Zadeh)教授首先提出来的，近10多年来发展很快。

模糊集合论的提出虽然较晚，但目前在各个领域的应用十分广泛。实践证明，模糊数学在农业中主要用于病虫测报、种植区划、品种选育等方面，在图像识别、天气预报、地质地震、交通运输、医疗诊断、信息控制、人工智能等诸多领域的应用也已初见成效。从该学科的发展趋势来看，它具有极其强大的生命力和渗透力。

在侧重于应用的模糊数学分析中，经常应用到聚类分析、模式识别和综合评判等方法。在DPS系统中，我们将模糊数学的分析方法与一般常规统计方法区别开来，列专章介绍其分析原理及系统设计的有关功能模块程序的操作要领，供用户参考和使用。

第1节 模糊聚类分析

1. 模糊集的概念

对于一个普通的集合A，空间中任一元素x，要么xÎA，要么xÏA，二者必居其一。这一特征可用一个函数表示为：

A(x)即为集合A的特征函数。将特征函数推广到模糊集，在普通集合中只取0、1两值推广到模糊集中为[0, 1]区间。

定义1 设X为全域，若A为X上取值[0, 1]的一个函数，则称A为模糊集。

如给5个同学的性格稳重程度打分，按百分制给分，再除以100，这样给定了一个从域X=｛x₁ , x₂ , x₃ , x₄, x₅｝到[0, 1]闭区间的映射。

x₁：85分，即A(x₁)=0.85

x₂：75分， A(x₂)=0.75

x₃：98分， A(x₃)=0.98

x₄：30分， A(x₄)=0.30

x₅：60分， A(x₅)=0.60

这样确定出一个模糊子集A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.30, 0.60)。

定义2 若A为X上的任一模糊集，对任意0 £ l £ 1，记Al=｛x｜xÎX, A(x)³l｝,称Al为A的l截集。

Al是普通集合而不是模糊集。由于模糊集的边界是模糊的, 如果要把模糊概念转化为数学语言，需要选取不同的置信水平l (0 £ l £ 1) 来确定其隶属关系。l截集就是将模糊集转化为普通集的方法。模糊集A 是一个具有游移边界的集合，它随l值的变小而增大，即当l₁ <l₂时，有Al₁∩Al₂。

定义3 模糊集运算定义。若A、B为X上两个模糊集，它们的和集、交集和A的余集都是模糊集, 其隶属函数分别定义为：

(AÚB) (x)= max ( A(x), B(x) )

(AÙB) (x)= min ( A(x), B(x) )

A^C (x)=1－A(x)

关于模糊集的和、交等运算，可以推广到任意多个模糊集合中去。

定义4 若一个矩阵元素取值为[0, 1]区间内，则称该矩阵为模糊矩阵。同普通矩阵一样，有模糊单位阵，记为I；模糊零矩阵，记为0；元素皆为1 的矩阵用Ｊ表示。

定义5 若A和B是n×m和m×l的模糊矩阵，则它们的乘积C=AB为n×l阵, 其元素为：

C_ij= (i=1, 2, …, n; j=1, 2, …, l) (20.1)

符号“∨”和“∧”含意的定义为： a∨b=max(a, b)，a∧b=min(a, b)。

模糊矩阵乘法性质包括: 1) (AB)C=A (BC)；2) AI=IA=A；3) A0=0A=0; 4) AＪ=ＪA; 5) 若A、B为模糊矩阵且a_ij £ b_ij (一切i, j)，则A£B，又若A£B, 则AC £ BC，CA£CB。

2. 模糊分类关系

模糊聚类分析是在模糊分类关系基础上进行聚类。由集合的概念, 可给出如下定义：

定义6 n个样品的全体所组成的集合X作为全域，令X´Y=｛(X, Y)｜xÎX, yÎY｝,则称X´Y为X的全域乘积空间。

定义7 设R为X´Y上的一个集合，并且满足：

1) 反身性: (x_i , y_i)ÎR，即集合中每个元素和它自己同属一类；

2) 对称性: 若(x, y)ÎR，则(y, x)ÎR，即集合中(x, y)元素同属于类R 时, 则(y, x)也同属于R；

3) 传递性: (x, y)ÎR，(y, z)ÎR，则有(x, z)ÎR。

上述三条性质称为等价关系，满足这三条性质的集合R为一分类关系。

聚类分析的基本思想是用相似性尺度来衡量事物之间的亲疏程度, 并以此来实现分类，模糊聚类分析的实质就则是根据研究对象本身的属性未构造模糊矩阵，在此基础上根据一定的隶属度来确定其分类关系。

3. 模糊聚类

利用模糊集理论进行聚类分析的具体步骤如下：

(1) 若定义相似系数矩阵用的是定量观察资料，在定义相似系数矩阵之前，可先对原始数据进行变换处理，变换的方法同系统聚类分析, 可参考第17章系统聚类分析一节。

(2) 计算模糊相似矩阵。设Ｕ是需要被分类对象的全体，建立Ｕ上的相似系数R。