楼上好像不对。

对于2，对不同的具体的x和y应该具体讨论，不能只泛泛而谈 x>y， 这样只能说明，b不是永远必胜的。

对于3，如果我们把堆数取成两堆只相差1，对手只要同时去掉 少的堆的数目-1 的石头， 就成为2 1， 我们就输掉了。

不过我认为寻求稳态的办法是可以考虑的。。原题就是这样解的嘛（没有同时取石子的项)。 不过 改过之后变化很大，不一定有以前那么漂亮的解法了。

。。。晚了，明个儿再考虑。

[此贴子已经被作者于2007-7-29 0:22:58编辑过]

这是个小时候的游戏,游戏的规则似乎是取最后一个石子者失败.

游戏的基本技巧是,当你拿的时候,两堆石子是相等的话(不含每堆石子为1的情况),那就是输定了.所以如果你去拿时,只要把两堆石子的数量保持一致,便能赢.

我来解决这个问题

0 0 相差0

1 2 相差1

3 5 相差2

4 7 相差3

6 10 相差4

8 13 相差5

9 15 相差6

11 18 相差7

12 20 相差8

14 23 相差9

16 26 相差10

17 28 相差11

21 34 相差13

22 36 相差14

24 39 相差15

如此至无穷，每组的小数是尚未使用过的最小的数字。

这样的堆数可以说是 “死棋” 被“将军”

当堆数在这样的数列中时，后取者胜。

在其他情况时，先取者胜，他只需把堆数取成数列中的形式即可。

原因是这样。 条件规定的两种取法的意义是 在任何一堆出现0这个数，或两堆相差为0时。先取者胜。所以从最小数和相差数两方面入手考虑。 先前的帖子也注意到1 2 是“将军”，也就是说，当两堆不是1 2时，而两堆中任一堆出现1或2，或两堆相差1时，先取者能“将军”，必胜。

在此基础上，选3（剩下的数中最小的数）做基数，加2， 得到数组 3 5. 先取者无论如何取，要么出现0，1，2，要么两堆相差数成为0，1。后取者能将军。 所以3 5也是“死棋”

所以考虑这样数对的规律。 首先需要有没使用过的数中最小的。这样对手若是在这堆中取走石子。选手可以可以从另一堆中取走石子让它变成更低阶的“死棋”形式。 比如8 13，若对手取成7 13， 我们可以取成 7 4，继续“将军”

第二个条件是相隔数目逐对递增。这样对手从数目多的堆数取走石子时，会让两堆差距缩小。进入我们的“射程”，比如9 15，对手取成9 14，我们可以同时取走1，8 13继续“将军”

当对手从数目多的堆数拿走很多石头，使两堆差距发生逆转时，这时候的调整有些不一样。比如22 36， 如果对手取成22 13，我们可以调整为8 13， 若对手取成 22 14，我们可以同取2为12 20。总能调整成功，证明比较复杂，放后面。

解法部分到此结束。

但是另外需要注意的是

这样的数对可以覆盖整个整数集合。这个显然。

需要一一对应，在这种解法中 随着数字增大，基数在增大，两堆相差也在增大。所以后面的数不会和前面的数重复，能保证一一对应。 比如8+5=13严格 <9 +6。

解法的唯一性 。解法并不唯一，比如11 7，我们可以调整为4 7 或10 6，都是“将军”。

数对的特性。 这数列有奇怪的性质，初期有些类似费波拉其数列的性质。但很不一样。 1.较小数似乎以单独一个 连续两个 为单位，以奇怪的节奏进行反复。2. 他能保证后面证明的那个性质。

最后的证明：当较大的数a变为较小数c的时候，我们有两种方法调整。 一是他们相隔较近的时候，同时取走一定数目，比如22b 14c,这时它们相距8， 14的搭档是23，22无法达到，同时取走2变成20 12，是“死棋”。 二是他们相隔较远，比如22b 11c，相距11，相距11的死棋是17 28，无法达到。所以调整为18 11。

需要证明的是这两种方法覆盖的数字没有遗漏（偶尔有重复，如11 7）。考虑a b,a>b,如22 b 在所有“死棋”数列中寻找最小的较大数，使之大于a。对22来说，是14 23这一对。也就是说，对于b为14以下的数字时，22都可以用上面的方法2调整。考虑14 23 （相隔9）的前一对 12 20（相隔8） ，也就是说相隔8以内的数字，22都可以用方法1调整。 而23>22 9-8=1是最小的相差数, 所以 14=23-9>=22-8=14。 前一个14是方法2覆盖的范围，后一个14是方法1覆盖的范围。 范围没有遗漏。即证。

原创，欢迎指正，提问，改进。

[此贴子已经被作者于2007-8-17 13:38:36编辑过]

最原始的题目是这样

有三堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定，一次可以在任意的一堆中取走任意多的石子；最后把石子全部取完者为胜者。假设双方都采取最好的策略，先取者是胜者还是败者。（PS：不同的两堆石子数目，应该会有不同的结论）

这题的解法是经典了。 先把三堆石子数目写成二的幂相加的形式，比如 9=1+8， 6=2+4。 这样，策略是，每一次尽量让每一个2的幂数都是偶数个，比如1 2 3， 2 4 6 ， 9 3 10。 当对手破坏这种平衡时，我们就去修复它，整个游戏就尽在掌握之中。

而把石头取完者是胜或是负并不重要，只要最后留意一下即可。战略不变。比如在2 1的时候，你应该取成0 1或1 1。

上一个题目也是这样，虽然相差不小，但多多少少都有寻找稳态的思想。 如果上一个题目改成取完着负，我想数列应该是0 1， 2 4，3 6这样吧。

关于这个经典解法，其实我还考虑过一些的。 为什么要取2的幂数；如果堆数增加，会不会变成3的幂数？ 大家不妨动动脑筋。2在这里似乎有很独特的性质。覆盖全面，结构稳定，又变化丰富。为什么只有2有这样的性质，难道仅仅因为2的高次幂=比它低的幂的和+1？我还没有让我满意的答案。。。

漫有兴趣的

我只知道，为了解决实际问题，博弈论是有力的工具。 但是，看起来并不是用传统的博弈论语言描述的解答，对博弈论就是一种猥亵么！ “猥亵博弈论，猥亵经济学”这样的话任谁看了都火大吧。 举个不太适当的例子。经济危机是对经济学的猥亵吗？ 凯恩斯理论是对经济学的猥亵吗？

何况 Game Theory 所要求的 参与人， 行动集， 收益集。 以及别人的行动对自己的影响。 这道题都满足吧。即使它和现在流行的博弈论方法、语言不同，没有更多地描述纳什均衡完全完美，但它也是一个Game，别人的行动对自己的收益也有影响，不至于猥亵博弈论，猥亵经济学吧！

何况 拿石子 的问题其实和 海盗分金币 差不多，一个是空间，一个是时间， 都用了倒推法，勉强都可以算作子博弈纳什均衡吧。 倘若非要用集合语言，或博弈树来描述也未尝不可， 但那样既复杂又不直观， 还掩盖了这些题目本来的闪光之处。

我知道我写的解答很长，看起来也很枯燥乏味。 但能不罗嗦的地方我已经尽量不罗嗦了， 我写的都是必须考虑的部分，有的部分虽然比较复杂，但是一旦缺掉，整个解答是不严谨的。 并不是我乐意写这么长，而是不得已而为之。 我用非常负责任的态度对待这道题目，我也为我解出这道题目感到高兴和自豪。

在解答里，我先是给出答案。 然后举例给出最优的取法如何实现，（从原因是这样到解法部分到此结束。 在这段我不是单纯说出解答，而是一步步寻找答案，是希望对大家的思路有帮助） 然后对取法能成立进行说明和证明。（包括需要覆盖所有的数字，且不重复。还有“最后的证明”，这个地方我自己本来也差点没注意到） 最后把这题值得注意和思考的地方提出来，希望能引起大家的思考。（解法不唯一，和数列特性）

在第二贴里，给出“原题”，然后把修改后的题目和原题做比较，也提出一些值得注意的地方。

我对我写的解答负责，虽然我不会写，解答本身也很枯燥，但我尽量讲清楚，讲详细，请不要随便的用这么“猥亵”难听的词语来形容。 我并不固步自封自以为是，但至少请先看看或讲出理由。

如果 我爱陶 你是想说， 经济学本来是社会学科，我们更应该讨论人与人之间的联系，而不要落于过于数学化的话。 一是麻烦说清楚，“遮掩过载猥亵博弈论”有点难理解。 二是博弈论好像也不是完全隶属于经济学下的吧。。。 三是其实这题也不会太数学啊，至多和 “海盗分金币”差不多，因为没有限定数字，所以显得比“海盗”复杂罢了。 四是不要用“猥亵”这么难听的词语。 我看到是是很火大的。 最后，我想说，学术是为了解决问题的， 数学于我犹如利剑， 博弈论亦是如此。他们都改变了我们的思维方式。 开动脑筋的时候，没有必要分谁是谁，能解决问题就行吧。（这几句其实我没有想清楚） 如果你认为这题目和生活差距太远，没有什么实际意义的话， 那倒未必， 拿石子的问题 似乎可以画一个 三维坐标的博弈树，这种解法也许可以视为类似图像问题的优化或精炼之类。 而且就算没有实际意义，其实能让我们开动一下思维，做做思维体操，也就已经很好了。。。

好了，博弈论的Paper我也没怎么读过，只是随想而发，抛砖引玉，请大家多指正，集思广益哈。