[原创]数理方法基础：变量逻辑（精缩版下）

张建平

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收藏 2007-11-11

（接续上部）

关于函数的变量性质一致性这个逻辑，还可以从函数的连续性来理解。

【连续性】所谓函数在某点的连续性，就是当自变量趋于该点时，函数值的极限和函数在该点所取的值相等。这也就是说，函数具有和自变量一一对应的性质，而自变量如果是存量，意味着在某时点上取值，而过程变量是不可以在一个时点上取值的，所以，不存在一个过程函数以一个状态函数为自变量的情况，当然也就无所谓过程函数对状态函数自变量的连续性问题，进而也就不存在所谓的微分运算问题了。

说到连续性，我们再来回顾数学上对“增量”的描述。【增量】设函数y＝f（x），当自变量x从x₀变到x时，函数值从f（x₀）改变到f（x），则称x－x₀为自变量的增量，记为⊿x＝x－x₀；称f（x）－f（x₀）为函数的增量，记为⊿y＝f(x)－f(x₀)。由于x＝x₀+⊿x，所以，⊿y＝f(x₀+⊿x)－f(x₀)。

从上可以清晰看出，如果x是一个状态量（存量、时点数），则意味着有一个时点数f（x₀）与x₀对应，或者说，当⊿x趋于0时，⊿y＝0，即表现为连续性，所以f（x）必然是对应于每一个状态点的量，即状态函数。因此，不存在和状态量相对应的过程量。换句话说，不存在过程量y和状态量x构成的函数y＝f（x），也就是说在y＝f（x）当中，y和x必然是同性质的。

毫无疑问，这个逻辑可以扩展到多变量函数z＝z（y、x、w、v……）当中。

基于我们对状态量和过程量的以上认识，我们应该知道，任何状态量（存量）都是附带时间点条件的，而过程量是附带时间段序号的。因此，状态量不是和过程相对应的，故不存在“某时段过程中的状态量”这种表述，诸如“水库去年的水位”、“昨天的股票价格”、“今天的血压”、“去年的人口”等等都是错误的表述，其科学的表述方式是“水库去年某时的水位”、“某股票昨天收盘的价格”、“今天早上八点测得的血压”、“去年标准时点的人口”等等。

如此大家就会理解，单纯从变量逻辑来看，由于成交比例（价格）是存量，而需求量是流量，所以，不存在和需求量所在的时段对应的价格概念——换句话说，微观经济学中所谓的需求曲线和供给曲线是不存在的。

一个定积分等于原函数在上下限两点上的变化，流量对应于一个完整的积分过程，意味着流量可以看作是一个存量的增量，即在积分起点和终点的一个差值（变化量）。

例如我们把⊿E展开为E₂－E₁，即⊿E＝E₂－E₁，就可以看出，一个过程函数（⊿E）是一个状态函数E在一个过程起始点上的差值（变化量），它描述和对应的是从E1到E2这个完整过程。不能够简化地说“两个存量之差就是流量”，准确的说法是“‘点存量’在一过程起始点上的差是‘点流量’”。而存量在任意时点的取值（存量本身）和起点值（视为常数）的差因为对应于任意时点t，故是一个“流存量”。

《西方经济学的终结》指出“流存量（水表数）”是存量，就是因为，第一，它是随时在某个时点上被观测的，是过程中的一个点，描述的是这个点的状态，和时点逐一对应；第二，因为第一，它的取值不是对应于一个完整的时段上的始末点。这也告诉大家，不要一看到涉及到时间长度的变量就想当然地看作是流量。如果这样看问题，就不存在所谓“状态函数”了，因为任何时点t都可以看作是从时间原点开始的一个时长⊿t＝t－0，或者更普遍地说，数轴上任何一点的数值都等于从零点开始计量的数轴长度。区别状态函数和过程函数的惟一判据，就是看这个变量是不是可以在一个时点上被测度，或者形象地说是不是可以被“拍照”。

这种统计测量方法上的差异非常重要，可以清楚区分何时“购买量”（对应于某次购买行为或截至当前的累计）意味着一个存量，而什么情况下说“购买量”的时候（对应于某个指定的时段）意味着一个流量。

财务管理中对流的管理的一个重要的内容就是进销存管理，其依据的原则就是“进－销＝存”。实际上，对于实物流而言（货币流也是一种实物流），“储蓄＝收入－支出”不过就是物质不灭定律的翻版，化工物料核算中的核算方程“总进料量－总出料量＝累积量”即是如此。而热力学第一定律⊿E＝Q－(-W)不过是针对能量流对一个能流的“域”进行的“进销存”核算——对外做功是能量的支出，而储蓄表现为内能的变化。实际上就是“储蓄＝收入－支出”及“储蓄变化速度＝收入速度－支出速度”等等的翻版。在http://ecoblogger.bokee.com/2081962.html“Fluid theory and Macroeconomics”一文中的“定律1”不过是把这种核算通过引入“流速”的概念以及内生和湮灭的概念扩展到价值流，从而建立了比“进－销＝存”规则更加一般的流（fluid）核算方法。

在现实经济事件当中，一种貌似流量实为存量的成交量数据可以和瞬息万变的价格构成对应关系，例如股市上可以做出一条“累积成交量”和“当前价格”的关系曲线，但是，这里的“成交量”是一个“流存量”，而非等同于需求量的流量，因为它表达的是从开盘到当前的累计成交量，任何时点上都可以给出一个累计数，就像水表上从安装到当前的读数一样，并不是一个流量（用数学语言讲，不是一个定积分）。真正作为流量的“成交量”应该叫做“某期成交量”（是流速在指定时段上的定积分）。

许多人对与“流存量”（水表数）概念的提出感到茫然，不知道这个概念的意义何在。流量作为一个流动主体的流速在一个宏观时段上的累积量，也就是状态函数（运动速度）运动的积累。而“流存量”（水表数）就是存量处于这个运动过程中间的一个状态描述，是存量运动形成流量的一个中间状态，因此它是一个状态函数，是连接存量和流量的一个中间环节。“水表数”同“流量”的数学差异就是不定积分和定积分的差异——前者是时间的函数，后者是时间和其所在时段的函数。

可以简单说明这个问题的例子是，打开水龙头向容器中放水，水表记录的放水量是随时而变的，它总是对应于容器中的水位或水量，因为容器当中的水位（量）是一个状态函数，因此与之一一对应的水表数也必然是状态函数（存量）。水表读数和容器中的水位描述的是同一个物理事实，不可能一个作为存量而另一个是流量。

用微积分的语言来叙述，变化运动的是事物的某个存量性质（速度），而流量是运动积分的结果，而不是变化运动的本身。这就是说，流量（过程函数）一定要对应于完整的时段，也就是一个定积分，而不是对应于指定时段的中间某时点。用在经济学的例子就是，消费量之累计在整个指定时段上的和才是一个流量（需求量），而“从某时到现在累积消费了多少”不是流量而是存量，只有累积到了指定时段的终点，才演变成为流量。

在图－1当中，水表数意味着时点t（虚线）之前的阴影面积，总是和t或者速度V逐一对应的；而流量对应于某个完整的时段，如tn→tn＋1，是图中的整个阴影面积。

“水表数是一个存量”，在数学上意味着一个“变上限定积分（积分上限的函数）”。

【积分上限的函数（变上限定积分）】设函数f（x）在区间[a，b]上连续，且x∈[a，b]，因此，f（x）在[a，x]上连续，当x在[a，b]上任取一值时，定积分∫f（x）dx（从a积到x）存在且有惟一的值与之对应，故该积分在区间[a，b]上确定了一个函数，称为积分上限的函数或者“变上限积分”，记为Ф（x），即Ф（x）＝∫f（x）dx（从a积到x）。

如果积分上限x是一个状态函数（存量），则作为状态函数（存量）的函数，Ф（x）必为一状态函数（存量）。如果上限x＝b为一确定的数，则定积分Ф（x）变为一个数值，由“水表数”演变为一个对应于区间[a，b]的“流量”。流存量和积流量的差别就是前者是变上限的定积分而后者是固定上限的定积分。

至此大家看到，流量总是表现为一个存量在两个状态点上的（量变）差值：点流量是点存量的量变，积流量是流存量的量变。

下面的例子有助于进一步理解“水表数”为何是一个存量而不是一个流量。

教授让两个学术去测量某处山泉流出的水的体积量，并思考这个出水量是流量还是存量。学生甲采取的办法是在泉口安装一个带有水表的管路，让泉水流经水表，自己只需要去记录“水表数”；学生乙的办法则是把泉水引入一个水池中，自己只需要去量一下水池的深度换算为体积即可。

（同样的例子我们还可以演绎为两个员工测度“产量”：一个观测生产线安装的计数器，一个则坐在仓库查库存。）

甲说他记录的数据应该看作是一个流量（过程函数），因为是从山泉（水管）中不断流出来的，而且水表的读数也对应于一个累积过程嘛。乙则说他记录的数据应该是一个存量（状态函数），因为它表现为水池的容积数，反应的是池中存水的一种状态，所以应该是存量。

然而实际上，甲乙两位同学测量的是同一个物理事实，每个数据都表述一个事物状态点。所以，水表数和水池中的水量必然是同性质的变量，都是态函数。

流量不可直接测度只能间接计算，而“存量”还是“流量”的惟一判决就是看对应于时点还是对应于时段，既然可以在某时点上观测，必然对应于事物在某时点上的状态，则就是一个状态函数即存量。而对应于指定时段的结果，才是一个流量。如果教授要学生做一个水表数和池水深度的对照表，两个学生可以手到擒来，只需要把任意时点上的水表读数和池水深度一一对照即可；但是，如果教授要学生做一个日出水量和水池深度的对照表就无从下手了，因为日出水量每天才有一个，而水表数或池水深度有无穷多个数据，只要你愿意去测就有。

形象地说，当我们按下快门的时候，只能拍到事物在一个时点上的照片，而不可能拍到事物在1和2两个点上的模样。所以⊿S＝S2－S1只能是一段录像（过程量），而不是一张照片（状态量）。

以上所举的例子都是连续的“流”，对于离散的“流”来说，积分变为加和就可以了。所以，之前有帖提到，每一次购买的量都是发生在交换时点上的存量，从时间起点到当前的累积购买量就是一个“流存量”（水表数、存量），而把指定阶段内的所有购买量加起来，其和就变成了对应于这个阶段的一个过程量（流量）了。

现在谈谈一个极易让人迷惑的变量“增长率”或“变化率”。

如果某变量在某一基点取值Ao，并在此基础上有一个变化⊿A后到达A1点，则我们通常把⊿A/Ao成为A以Ao点为基点的“变化率”，即

η≡⊿A/Ao＝(A1－Ao)/Ao＝A1/Ao－1

η为正时表示“增长”，η为负时表示“衰减”。

现在的问题是：变化率η算是什么性质的变量——流量还是存量？

这种疑问来源于η的定义式η≡⊿A/Ao。在恒等号的右边，分子是一个量变，按照前面的变量逻辑，它应该是一个流量；但是，分母是一个变量在某点的取值。这不就构成了一个流量和一个存量的比例关系了吗？

【特别规定】变化率η是一个过程函数（流量）。

这个规定的理由是：在式子η≡⊿A/Ao当中，分母Ao应看作是一个常数，是比较的基准。η就是描述一个过程的变化运动幅度大小的参数，所描述的是一个事件过程，因此是一个过程函数。

变化率概念不仅仅对存量适用，对流量也同样适用。前者例如“孩子现在比一年前长高了10％”，这句话表示孩子现在的身高L和一年前的身高Lo之间具有关系L/Lo－1＝0.12。后者例如“这个月的降雨量比上个月少了一半（是上个月的50%）”，这句话意味着这个月的降雨量R1和上个月的降雨量Ro之间具有关系(R1－Ro)/Ro＝－0.5。