(SpringerBriefs in Statistics )
Bronius Grigelionis  (auth.)-
Student’s t-Distribution and Related Stochastic Processes
-Springer Berlin Heidelberg (2013)
Contents
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Asymptotics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Asymptotic Behavior of Student’s Pdf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Asymptotic Distributions for Extremal and Record Values . . . . . 13
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Preliminaries of Lévy Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1 Lévy-Itô Decomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Self-Decomposable Lévy Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Lévy Subordinators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Subordinated Lévy Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Student-Lévy Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Student OU-Type Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6 Student Diffusion Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.1 H-Diffusions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 Student Diffusions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.3 Point Measures of e-Upcrossings for Student Diffusions. . . . . . . 66
6.4 Kolmogorov–Pearson Diffusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7 Miscellanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7.1 Mixed Moments of Student’s t-Distributions. . . . . . . . . . . . . . . 77
ix
7.2 Long-Range Dependent Stationary Student Processes. . . . . . . . . 81
7.3 Lévy Copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Appendix A: Bessel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97