不要总用数字去理解代数，代数里定义的东西都是在 空间  域中等说明的。
你可以把普通的数字，也就是scalar当成是属于R的，那么m*n的矩阵是属于R(m*n)的，矩阵的运算就定义了 R(m*n)和R(n*k）的结果在R（m*k)中。最重要的是，没人 说 矩阵中的元素一定是数字，  两个可以相乘的矩阵，如果分块方式也相同，就是可以相乘的。
线性代数并不是从以前的加法乘法一个一个运算，变成了N多个加法一起运算。而是它真正将我们平时的数学运算拓展到了更高的维度。比如我们说多项式ax^3+bx^2+cx+d这里面的x就可以是矩阵而不仅仅是实数。
平时我们说 向量x=(x1,x2,...xn)T表示x是定义在Rn中的一个列向量，对于A(m*n)的矩阵就是一个线性变换关系，因为Ax是应该m维的列向量，这样我们通过变换A讲x映射到了一个m维空间去了。注意在矩阵乘法的定义在，都是a1x11+a2x12+...anx1n这种形式的，可以说是线性变换，这也就是为什么我们学的东西是线性代数。至于代数是什么，坐等纯数学的人来从更高的角度上解答代数思想吧。
说的比较混乱，也有可能有错的地方，望见谅。

？？？？？？

sehgserhs

其实可以把单位矩阵的每一个元素分开来看。如果把单位矩阵先进行一次分块，拆成1*1的矩阵，这样每一个1*1的矩阵同时也就是一个数字。那么和矩阵A的乘积就有双重含义：既是数乘，也是矩阵相乘。数乘就可以将数字放到矩阵内部。然后再把每一个数乘叠加起来，看做矩阵之间的乘法，那么就可以得到该结果了。将单位矩阵分块后与A相乘，对角线上为1、其余数字为0就可以将A中的元素一一对应过来。化简后即得到该等式。具体运算还要自己算啦。