这些理论我都懂，您能对compound option给出具体的做法吗？

http://bbs.cenet.org.cn/uploadImages/20035291315398755.pdf

这篇jfe的6式和7式大概是你想要的，你把他转化到stochastic vol的情况应该就可以了。具体怎么做compound option我也没操作过。这个option最大的作用应该还是在liability 的valuation上。。。

谢谢，Geske的这篇是解析公式，我更想用MC，不过还是谢谢你！

Interesting question.

The compound option is an option with K1 and T1 (mother option). The only different is its underlying asset is an option (T2,K2) (daughter option). At time to maturity, it delivers an option with maturity T2-T1, K2.

One approach suggested by the following paper (under Heston model) is to combine the MC and close form solution. Under SV model, you know the close form solution (or approximation via FT, whatever) of the option T2-T1, K2 (daughter). It should be a function of S(T1),volatility(T1). Then from 0 to T1, you can simulate the stock and volatility path so that you can calculate all the possible option prices of daughter at T1. Thus you get all the possible payoffs of mother. Average them and discount back you will get the mother's price.

http://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstract_id=1988578

I don't know whether there are some pure MC methods. At least I think the naive MC is not possible. Say if you want to get M possible outcomes of the mother option. Since conditional on each path of stock price on 0 to T1, you need to simulate another say N paths on T2-T1 to determine the daughter. This will result in a M*N number of simulation in total. This can blow up your computer. Need to find better algorithm.

best,

pure MC的方法，说一下我的想法：

1.先模拟得到T1的股价S1和T2的价格S2
2.以S1做初始价格，模拟得到期限T1-T2的call的价格C1
3.C1和K1比一下，值不值得买
4.（1）买了call，和S2比较一下，最终赚了X=？
   （2）没买call，最终赚了X=0
5.重复1-4，得到若干X
6.把上边所有的X平均一下，再贴现。

计算量骤增的地方在第2步，所以这也使可能存在创新的地方。
如果你使用的是显示Euler法模拟heston模型，第2步产生的路
径是可以重用到其他地方的。
显示Euler法中，波动率路径不受价格路径的影响，相反最终
价格只受到初始价格和相应波动率路径的影响。如果固定波动
率路径，最终价格之比=初始价格之比，这和GBM情况下是一
致的。

为达到路径重用的目的，在第2步中要记住每一条波动率路径L，
和其相应的最终价格S。当进行第二轮模拟的时候，沿用上一轮
的得到的波动率路径，这样只要简单换算比例，就可以得到若干
最终价格，从而得到新的call价格。
因为重用了之前的波动率路径，模拟误差可能会变大，所以要
耍一个花招降低误差。显示Euler法中波动率路径的模拟有一连串
正态变量组成，最简单的花招就是用“反向变异”，把每个正态变量
的符号反过来，就可以得到“对偶路径”。用对偶路径产生的“抵消效应”把方差拉低。

欢迎讨论

想法很好，不过你固定了vol的路径，然后simulate不同的price，算出在这条vol路径上的option price之后其实还是要再simulate不同的vol，然后再average。

另外MC其实本质上是逼近期望，期望的本质是积分，只有当vol和price没有correlation的时候才能完全交换计分顺序，即先simulate price conditional on vol，然后再simulate 不同的vol，但是如果两者存在correlation，那这种方法就不能用了。还是得老老实实一步一步simulate jointly。

不过你这种方法确实对没有correlation的model是管用的，因为conditional on vol，子期权其实就是BS公式（如果他是lognormal模型的话），因此就很容易。不过如果我们能直接得到T2时刻price和vol的joint distribution，不管是通过什么手段，那也一下子就能出来了。

best，

大牛啊

THANK YOU！每有问题版主都能解决。

Assuming deterministic interest rate, the value is formally given by[LaTex]D(0, T_1) E[D(T_1, T_2)E((S_{T_2}-K_2)^+ | F_{T_1}) - K_1]^+[/LaTex]
where D(t, u) is the discount factor for the interval (t, u) and \[F_{T_1}\] is the information set .
What you can do is a Monte Carlo within Monte Carlo. That is, for each of n paths simulated until T_1, simulated m paths until T_2, in total youm need nm paths, for example, 100,000 by 10,000 paths.

对此，我想到个更一般的MC方法，基于那个著名的LSMC（最小二乘法MC，LONGSTAFF和SCHWARTZ 2001年的论文）方法。不知对否，请教一下：
构造一个bermudan option（称为M），M有两个行权日T1和T2，即：
可以选择T1行权（M就此终结）得到PAYOFF=K1，如果在T1不选择行权，则可以选择在到期日T2行权，PAYOFF=max(StockPrice - K2,0)
用LSMC方法可以算出此M的价值m（注意LSMC的好处就是可以避免simulation within simulation），令P=m-K1*exp(-r*T1)。
你会发现P正好应该是COMPOUND OPTION，即在T1时刻可以选择用K1价格买入CALL OPTION（T2到期，K2为行权价），的价值。因为N的PAYOFF与COMPOUND OPTION在任何情况下都一样。

在这个MC方法下，可以适用于多因素模型，即多个随机变量(Volatility可以是随机的，利率可以是随机的，而且各随机变量可以是correlated），没有simulation within simulation之忧，所以似乎能对付“更一般”的模型下的COMPOUND OPTION价值计算。

你看，对吗？请指教。

Very good thinking。

我想了一下，说说我的看法，

你的payoff的复制是正确的：如果要满足compound option，开始持有m0和short K1份bond(T1 mature)

T1时刻如果m1<=k1 exercise, 得到k1和bond的short position抵消，因此payoff是0
m1>k1 no exercise, 得到0，payoff m1-K1。继续持有m1到T2就是m2

但是我觉得你要去check的一件事情是你的exercise boundary，看看是不是对于一个纯粹的Bermudan option，人们是不是会选择m1<=k1 exercise, m1>k1 no exercise, 如果一致，则定价正确，如果不一致则有偏差。因为其实我们知道exercise有利与否取决于exercise boundary而不能我们想exercise就exercise，不想就不exercise。就好比美式和欧式的put，美式put如果我选择到期才行权当然能复制欧式的payoff，但是这么做有些时候是不明智的，因此价格会不同。

谢谢，明白了。

Within a simulation framework, LS monte carlo is the standard method for pricing compound options. However, if the number of your model factors <=3, PDE would be better and more straightfoward.