这道题是考期望效用理论的~
1. 用期望效用最大化解
设投资x. 则期望收益是（1+x 0.9; 1-x 0.1）
期望效用是：E=0.9*Ln(1+x)+0.1*Ln(1-x)

最优投资也就是一个最优化问题： Arg max E
                                              S.t.  0=<x<=1
一阶条件是 dE/dx=0
二阶条件是 d^2E/dx^2<0
解出来答案是 x=0.8w

2.用均衡纯保费原理解
设费率为m，投保额为k(其实与k无关的)
则保险公司的预期收益为 （mk 0.9; mk-k 0.1）
保险公司的参与约束 0.9*mk+0.1*(mk-k)>=0
均衡费率 m=10%

3.跟第一问的方法类似
设投保额为y
则预期收益为 （1+x-0.1y 0.9; 1-x-0.1y+y 0.1）
由此导出期望效用为 E1=0.9*Ln(1+x-0.1y)+0.1*Ln(1-x-0.1y+y)
还是一个最优化问题，这次是对y求一阶条件二阶条件，过程省略
y=0.5x

设投资额为n
则最优投保设计下的预期收益为 （1+0.95x 0.9; 1-0.55x 0.1）
E2=0.9*Ln(1+0.95x)+0.1*Ln( 1-0.55x)
解法同上，注意到x的约束条件，最优投资为1w

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