False.
If Y is convex, then V(y) is convex. 这是对的。具体证明参考Varian的《微观经济分析》 第一章第9页（英文版）。
证明：若Y 是个凸集，这意味着对于任何x 和x’ ，只要( y,-x) 和( y,-x’) 都在Y 中，则(ty + (1- t) y,-tx - (1- t)x’) 必然也在Y 中。这只是要求( y,-(tx + (1- t)x’)) 也在Y 中。由此可见，若x 和x’ 都在V ( y) 中，则tx + (1- t)x’ 也在V ( y) 中，这表明V ( y) 是凸集。

if V(y) is convex, then Y is convex。这部分是错的，具体证明参考Varian的《微观经济分析》 第一章第21页（英文版）习题1.1. 习题答案在附录A9上。
证明：我 们举一个反例说明。考虑由生产函数f (x) = x^2 生成的技术。必要投入集V( y) = {x : x >= y^0.5}是一个凸集，但生产集Y = {( y,-x) : y <= x^2}显然不是凸的。

此处证明均来自曹乾老师的《微观经济分析》（Varian）的翻译版。

谢谢！！看了这个清晰了好多