爱想绝对是好事，开始的时候基础的概念和大框架想明白了后面那些技术细节就很容易掌握。

1）Yes，不光对BM，还是举带跳的过程，他可以对passion process（compensated，compound）定义Ito积分，对于很多martingale都可以定义Ito积分（参考shreve最后一章），我不是学数学的所以可能话不是说得很严谨，但是you know what I mean。

2）想象一下，如果每时每刻都可以发生一个强度为随机的jump，如果jump的次数是无限的话可以相见他的quadratic variation是无限的。这方面你可以去看Levy process，他是一类介于纯跳和纯连续(BM)process之间的process。简单不严谨得说就是jump的强度满足一个distribution （levy density）。但是数学要求极高，建议还是先把经典的随机金融掌握了再说。

你有思考过：在非随机环境下，一元函数中，存在二次变差在任意给定区间上不为0的函数么？魏尔斯特拉斯函数？其二次变差是怎样的？在排除掉这些特意构造的函数中那些除了否定原命题之外没有其他作用的函数，结果又是怎样的。

I am a finance guy so I don't consider those that is not useful in finance. Pricing is based on several so-called market "facts" such as lognormal assumption, fat tail, jump. It's original motivation is not pure mathematics.
And, it is really hard for me to understand this sentence, too complicated. "在排除掉这些特意构造的函数中那些除了否定原命题之外没有其他作用的函数"

Again, your question is a good mathematical question. But to me I won't bother to think about it.

回复不了，我就在底下写了。
谢谢版主耐心的回复。我那句话的意思是：对于一个命题，可能存在一些反例足以否定改命题，但是对于这些反例中那些只是用来否定该命题的，在应用中不予以考虑，原因在于这些反例往往在现实中发生的概率为0.
我思考这个是因为：随机微积分在金融中很有用。而随机微积分不同于经典微积分在于三点，1。积分变量为一个随机过程2.把随机性放在极限过程中予以考虑而不放在被积函数或积分变量中（这与一不矛盾，毕竟积分变量只是符号上的写法，逻辑上，其实我没有弄清楚，目前认为是给定样本点，作为确定的一个和来考虑，然后再考虑随机性，这样随机性便被放在极限过程中了）3.被积函数，这个我认为不是关键之处。
主要区别在于1与2，我之前问的确定性环境下存在二次变差不为零的函数便是出于此考虑，因为所谓的“经典微积分处理二次变差为零，几乎处处联系的函数，随机微积分可以处理二次变差不为零的函数”
考虑这个是想三次变差不为零的函数是否存在？若存在能否应用已金融中，并给予基于现有理论的模型以显著性的改进？在学术与实务中均有意义。

最后的意义是指是否有意义，想得可能远了，毕竟才入门，对现有模型不了解，更无从谈起其缺陷与改进之处。

另外，随机过程是个二元函数，按理说对它的积分应该是二重积分，但我认为正是它把其中的随机性这个自变量处理到极限过程中顾结果是一个一重积分

最后一句是“故结果是一个一重积分”。

No, let's say an Ito integral: ∫H(s)dX(s). The stochastic integral itself is a stochastic variable (in time space). It is a single integral. But if you take the expectation of it E(∫H(s)dX(s)) the expectation itself is a integral (it is an integral with respect to the the probability measure (in sample space)) then it is a double integral. Stochastic integral is defined on the time line, itself is a stochastic variable.