Title:  Fluctuation Theory for Levy Processes

Author: Ronald A. Doney

Publisher: Springer

Contents:

1 Introduction to L´evy Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Poisson Point Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 The L´evy–Itˆo Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 L´evy Processes as Markov Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Subordinators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Basics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 The Renewal Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Passage Across a Level . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 Arc-Sine Laws for Subordinators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6 Rates of Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7 Killed Subordinators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Local Times and Excursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Local Time of a Markov Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 The Regular, Instantaneous Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 The Excursion Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5 The Case of Holding and Irregular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Ladder Processes and the Wiener–Hopf Factorisation . . . . . . 25
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.2 The Random Walk Case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 The Reflected and Ladder Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.5 A Stochastic Bound. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Further Wiener–Hopf Developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.2 Extensions of a Result due to Baxter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3 Les ´Equations Amicales of Vigon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4 A First Passage Quintuple Identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6 Creeping and Related Questions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 Notation and Preliminary Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.3 The Mean Ladder Height Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.4 Creeping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.5 Limit Points of the Supremum Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.6 Regularity of the Half-Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.7 Summary: Four Integral Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7 Spitzer’s Condition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2.1 The Case ρ = 0,1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2.2 A First Proof for the Case 0 < ρ < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2.3 A Second Proof for the Case 0 < ρ < 1 . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.3 Further Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.4 Tailpiece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8 L´evy Processes Conditioned to Stay Positive . . . . . . . . . . . . . . 81
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.2 Notation and Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.3 Definition and Path Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.4 The Convergence Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.5 Pathwise Constructions of (X, P↑) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.5.1 Tanaka’s Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8.5.2 Bertoin’s Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9 Spectrally Negative L´evy Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.2 Basics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.3 The Random Walk Case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.4 The Scale Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.5 Further Developments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.6 Exit Problems for the Reflected Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.7 Addendum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

10 Small-Time Behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.2 Notation and Preliminary Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.3 Convergence in Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
10.4 Almost Sure Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
10.5 Summary of Asymptotic Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.5.1 Laws of Large Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.5.2 Central Limit Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.5.3 Exit from a Symmetric Interval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
List of Participants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
List of Short Lectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145