Modelling Dependence with Copulas
and Applications to Risk Management

Contents
1 Introduction 1
2 Copulas 2
2.1 Mathematical Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Sklar’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 The Fr´echet–Hoeffding Bounds for Joint Distribution Functions . . . . . . 4
2.4 Copulas and Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Dependence Concepts 9
3.1 Linear Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Perfect Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Concordance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 Kendall’s tau and Spearman’s rho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.5 Tail Dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Marshall-Olkin Copulas 17
4.1 Bivariate Marshall-Olkin Copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 AMultivariate Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3 A Useful Modelling Framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5 Elliptical Copulas 22
5.1 Elliptical Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2 Gaussian Copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.3 t-copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6 Archimedean Copulas 30
6.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.3 Kendall’s tau Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.4 Tail Dependence Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.5 Multivariate Archimedean Copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7 Modelling Extremal Events in Practice 40
7.1 Insurance Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.2 Market Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41