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Fixed Income Analysis:
Securities, Pricing, and Risk Management
Claus Munk
This version: January 23, 2003

Contents
Preface viii
1 Basic interest rate markets, concepts, and relations 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Markets for bonds and interest rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Discount factors and zero-coupon bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Zero-coupon rates and forward rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 Annual compounding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.2 Compounding over other discrete periods { LIBOR rates . . . . . . . . . . 8
1.4.3 Continuous compounding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.4 Di erent ways to represent the term structure of interest rates . . . . . . . 10
1.5 Determining the zero-coupon yield curve: Bootstrapping . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Determining the zero-coupon yield curve: Parameterized forms . . . . . . . . . . . 14
1.6.1 Cubic splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.2 The Nelson-Siegel parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.3 Additional remarks on yield curve estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Fixed income securities 22
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Floating rate bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Forwards on bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Interest rate forwards { forward rate agreements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Futures on bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Interest rate futures { Eurodollar futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.7 Options on bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7.1 Options on zero-coupon bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7.2 Options on coupon bonds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8 Caps,
oors, and collars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.8.1 Caps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.8.2 Floors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.8.3 Collars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.8.4 Exotic caps and
oors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.9 Swaps and swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
i
Contents ii
2.9.1 Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.9.2 Swaptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.9.3 Exotic swap instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Stochastic processes and stochastic calculus 43
3.1 Probability spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Stochastic processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1 Di erent types of stochastic processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.2 Basic concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.3 Markov processes and martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.4 Continuous or discontinuous paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Brownian motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Di usion processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5 It^o processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.6 Stochastic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6.1 De nition and properties of stochastic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.6.2 Leibnitz' rule for stochastic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.7 It^o's Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.8 Important di usion processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.8.1 Geometric Brownian motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.8.2 Ornstein-Uhlenbeck processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.8.3 Square root processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.9 Multi-dimensional processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.10 Change of probability measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4 Asset pricing and term structures: discrete-time models 71
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 A one-period model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.1 Assets, portfolios, and arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2.2 Investors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2.3 State-price vectors and de
ators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.4 Risk-neutral probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.5 Redundant assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.6 Complete markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.2.7 Equilibrium and representative agents in complete markets . . . . . . . . . 82
4.3 A multi-period, discrete-time model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.1 Assets, trading strategies, and arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.2 Investors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3.3 State-price vectors and de
ators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.4 Risk-neutral probability measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.5 Redundant assets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.3.6 Complete markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Contents iii
4.3.7 Equilibrium and representative agents in complete markets . . . . . . . . . 93
4.4 Discrete-time, nite-state models of the term structure . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.5 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5 Asset pricing and term structures: an introduction to continuous-time models 97
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Asset pricing in continuous-time models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.1 Assets, trading strategies, and arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2.2 Investors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2.3 State-price de
ators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2.4 Risk-neutral probability measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.2.5 From no arbitrage to state-price de
ators and risk-neutral measures . . . . 105
5.2.6 Market prices of risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2.7 Complete vs. incomplete markets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2.8 Extension to intermediate dividends . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2.9 Equilibrium and representative agents in complete markets . . . . . . . . . 110
5.3 Other probability measures convenient for pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3.1 A zero-coupon bond as the numeraire { forward martingale measures . . . . 113
5.3.2 An annuity as the numeraire { swap martingale measures . . . . . . . . . . 114
5.3.3 A general pricing formula for European options . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4 Forward prices and futures prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.1 Forward prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4.2 Futures prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4.3 A comparison of forward prices and futures prices . . . . . . . . . . . . . . 118
5.5 American-style derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.6 Di usion models and the fundamental partial di erential equation . . . . . . . . . 119
5.6.1 One-factor di usion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.6.2 Multi-factor di usion models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.7 The Black-Scholes-Merton model and Black's variant . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.7.1 The Black-Scholes-Merton model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.7.2 Black's model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.7.3 Problems in applying Black's model to xed income securities . . . . . . . . 133
5.8 An overview of continuous-time term structure models . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.8.1 Overall categorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.8.2 Some frequently applied models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6 The Economics of the Term Structure of Interest Rates 139
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.2 Real interest rates and aggregate consumption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.3 Real interest rates and aggregate production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.4 Equilibrium interest rate models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.4.1 Production-based models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

6.4.2 Consumption-based models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.5 Real and nominal interest rates and term structures . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.5.1 Real and nominal asset pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.5.2 No real e ects of in
ation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.5.3 A model with real e ects of money . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.6 The expectation hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.6.1 Versions of the pure expectation hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.6.2 The pure expectation hypothesis and equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.6.3 The weak expectation hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.7 Liquidity preference, market segmentation, and preferred habitats . . . . . . . . . 160
6.8 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
6.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7 One-factor di usion models 163
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.2 Ane models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.2.1 Bond prices, zero-coupon rates, and forward rates . . . . . . . . . . . . . . 165
7.2.2 Forwards and futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.2.3 European options on coupon bonds: Jamshidian's trick . . . . . . . . . . . 169
7.3 Merton's model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.3.1 The short rate process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.3.2 Bond pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.3.3 The yield curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.3.4 Forwards and futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.3.5 Option pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.4 Vasicek's model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.4.1 The short rate process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.4.2 Bond pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.4.3 The yield curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.4.4 Forwards and futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
7.4.5 Option pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7.5 The Cox-Ingersoll-Ross model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.5.1 The short rate process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
7.5.2 Bond pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.5.3 The yield curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.5.4 Forwards and futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
7.5.5 Option pricing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.6 Non-ane models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
7.7 Parameter estimation and empirical tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.8 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

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