谢谢水浪先生！

我们可以在现有的、由任何语言所写的许多数学分析书中看到这个很简单但却有着不寻常意义的证明.

就这样，通过这样的证明，“应用现、当代极限论所决定的加括号运算法可从Un--->0的调和级数中制造无穷多个Un’ 大于任意正数”的结论成了公认的事实与真理，与之相关的调和级数发散的结论成了人类科学（特别是数学）中的一个不可动摇的重要基础理论；而古代芝诺“人-龟赛跑悖论中善跑的阿基里斯永远追不上乌龟的陈述”被现、当代极限论“严格数学化”，该结论就成了“已经被严格证明了的事实与真理”-----是芝诺定理而非芝诺悖论！

芝诺的“人-龟赛跑悖论”:阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，乌龟在前面跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯到达乌龟在某时所处的位置时，乌龟已向前移动一些；阿基里斯再到达乌龟的那个位置时，乌龟又往前跑了一段；…… 因此，无论阿基里斯到达乌龟曾处的哪个位置，乌龟都会在他前面。所以，无论阿基里斯跑得多快，他永远追不上乌龟。
据说，芝诺的一个学生曾抓来一只乌龟，让它在踞自己10步以外向前爬行，然后从后面追上乌龟，演示给芝诺看，想以此来证明阿基里斯完全可以追上乌龟。另一个叫爻布纳.希莫尼的学者编了一个既生动有趣、又中肯贴切的对话来评述芝诺悖论的荒谬：当一只饥饿凶猛的狮子从笼子里被放出来去追赶芝诺时，芝诺不慌不忙地一边慢跑一边告诉人家，这只狮子永远不可能跑到他身边。因为狮子首先必须到达他的出发点，当狮子到达他在某时所处的位置时，他已向前移动一些；狮子再到达他的那个位置时，他又往前跑了一段；…… 因此，无论狮子到达他曾处的哪个位置，他都会在狮子前面。所以，无论狮子跑得多快，它永远追不上他。从另一个角度说，这狮子在接近他时必须跑完全程的一半，在跑完全程的一半前又必须跑完全程的四分之一，在跑完全程的四分之一前又必须跑完程的八分之一，如此类推，以至无穷，狮子连一步都跨不出。但在他刚说完狮子无论如何永远没办法追上他的话音落下后不久，芝诺被这飞跑而至的狮子吞吃掉了。

芝诺的“人-龟赛跑悖论”几千年来悬而未决。