位置制记数法
　　法国著名数学家拉普拉斯（Laplace,1749 – 1827）曾经写道：
　　用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。
　　拉普拉斯的这段评论十分精彩，只可惜他张冠李戴，把这项发明归之于印度。现已有充分而确凿的史料证明，10进位位置制记数法最先产生于中国。这一点也为西方的一些数学史家所主张。李约瑟就曾指出“在西方后来所习见的‘印度数字’的背后，位置制已在中国存在了两千年。”不过，10进位位置制记数法的产生不能单纯地归结为天才的智慧。记数法的进步是与计算工具的改进相联系的。研究表明，10进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。
“零”
　　“0”作为记数法中的空位，在位置制记数的文明中是不可缺少的。早期的巴比伦楔形文字和宋代以前的中国筹算记数法，都是留出空位而没有符号。印度人起初也是用空位表示零，后来记成点号“· ”，最后发展为圈号。印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家。13世纪初，意大利的商人斐波那契（Leonado Fibonacci, 1175 - 1250）编著《算经》（Liber Abacci,1202），把包括零号在内完整的印度数码介绍到了欧洲。印度数码和10进位位置制记数法被欧洲人普遍接受后，在欧洲的科学和文明的进步中扮演了重要的角色。

大数记法
遇到难题
　　

“大数之法”的数学意义
　　《数术记遗》中的“大数之法”的数学意义并不仅仅在于它构造了三种记数方法，更为重要的是它揭示了人们对数的认识从有限走向无限的艰难历程。客观的需要和数学的发展都促使人们去认识和把握越来越大的数。起初，对一些较大的数，人们还可以理解它，还能够利用已有的记数单位去表示它。但是，随着人们认识的发展，这些大数也在迅速的扩张，原有的记数单位难以为用。人们不禁要问：
　　数有穷乎？
　　这是数系发展中的需要回答的重大命题。《数术记遗》中记载的徐岳和他的老师刘洪的对话，精彩的阐明了“数穷则变”的深刻道理：
　　徐岳问曰：数有穷乎？
　　会稽（刘洪）答曰：吾曾游天目山中，见有隐者，世莫知其名，号曰天目先生，余亦以此意问之。先生曰：世人言三不能比两，乃云捐闷与四维。数不识三，妄谈知十。不辨积微之为量，讵晓百亿于大千？黄帝为法，数有十等。……从亿至载，终于大衍。
　　会稽问曰：先生之言，上数者数穷则变，既云终于大衍，大衍有限，此何得无穷？
　　先生答曰：数之为用，言重则变，以小兼大，又加循环。循环之理，且有穷乎！
　　天目先生的做法是借助“以小兼大”的“循环之理”，以有限来认识无限，而指引这一途径的重要思想是“言重则变”。即便是今日，“数穷则变”这一朴素的辩证思维所蕴涵的深邃哲理仍值得人们深思。

有理数系
　　位置制记数法的出现，标志着人类掌握的数的语言，已从少量的文字个体，发展到了一个具有完善运算规则的数系。人类第一个认识的数系，就是常说的“自然数系”。但是，随着人类认识的发展，自然数系的缺陷也就逐渐显露出来。首先，自然数系是一个离散的、而不是稠密的数系[2] ，因此，作为量的表征，它只能限于去表示一个单位量的整数倍，而无法表示它的部分。同时，作为运算的手段，在自然数系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它们的逆运算。这些缺陷，由于分数和负数的出现而得以弥补。
分数
　　有趣的是这些分数也都带有强烈的地域特征。巴比伦的分数是60进位的，埃及采用的是单分数(unit fraction)，阿拉伯的分数更加复杂：单分数、主分数和复合分数。这种繁复的分数表示必然导致分数运算方法的繁杂，所以欧洲分数理论长期停滞不前，直到15世纪以后才逐步形成现代的分数算法。与之形成鲜明对照的是中国古代在分数理论上的卓越贡献。
　　原始的分数概念来源于对量的分割。如《说文·八部》对“分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。其“合分术”有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。中国古代分数理论的高明之处是它借助于“齐同术”把握住了分数算法的精髓：通分。刘徽在《九章算术注》中所言：
　　众分错杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同共一母也。齐者，子与母齐，势不可失本数也。
　　有了齐同术，就可将分数化异类为同类，变相违为相通。刘徽深得其中奥秘，称：“然则齐同之术要矣。错综度数，动之斯谐，其犹佩觹解结，无往而不理焉。乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎。”
　　容易证明，分数系是一个稠密的数系，它对于加、乘、除三种运算是封闭的。为了使得减法运算在数系内也同行无阻，负数的出现就是必然的了。盈余与不足、收入与支出、增加与减少是负数概念在生活中的实例，教科书在向学生讲授负数是也多循此途。这就产生一种误解：似乎人类正是从这种具有相反意义的量的认识而引进了负数的。历史的事实表明：负数之所以最早为中算家所引进，这是由中国古代传统数学中，算法高度发达和筹算机械化的特点所决定的。负数的概念和算法首先出现在《九章算术》“方程”章，因为对“方程”进行两行之间的加减消元时，就必须引入负数和建立正负数的运算法则。刘徽的注释深刻的阐明了这点：
　　今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑，否则以斜正为异。方程自有赤黑相取，左右数相推求之术。而其并减之势不得广通，故使赤黑相消夺之。……故赤黑相杂足以定上下之程，减益虽殊足以通左右之数，差实虽分足以应同异之率。然则其正无入负之，负无入正之，其率不妄也。

负数
　　负数虽然通过阿拉伯人的著作传到了欧洲，但16世纪和17世纪的大多数数学家并不承认它们是数，或者即使承认了也并不认为它们是方程的根。如丘凯（Nicolas Chuquet ，1445-1500）和斯蒂费尔（Stifel ,1486-1567）都把负数说成是荒谬的数，是“无稽之零下”。卡丹(Cardan,1501- 1576) 把负数作为方程的根，但认为它们是不可能的解，仅仅是一些记号；他把负根称作是虚有的。韦达(Vieta, 1540- 1630) 完全不要负数，巴斯卡（Pascal,1623- 1662） 则认为从0减去4纯粹是胡说。
　　负数是人类第一次越过正数域的范围，前此种种的经验，在负数面前全然无用。在数系发展的历史进程中，现实经验有时不仅无用，反而会成为一种阻碍。我们将会看到，负数并不是惟一的例子。