在学随机游走模型的时候一直有个困惑，随机游走模型认为股价趋势是不可预测的，即已知今天的股价，对明天股价的最好预测是股价不变。假如果真如此，股票价格应该一直围绕着今天的价格上下波动，而不会表现出上涨或者下跌的趋势。但是这与现实的股价波动是不符的，在一个较长的历史跨度内，股价一般会表现出一个上涨的趋势。这么明显的矛盾，难道金融学家会意识不到？可能很多在研究过随机游走模型的童鞋都有过这样的困惑。直到读了compell的书《TheEconometrics of Financial Markets》才解答了我这个困惑，发现直觉和理论并不矛盾。下面与大家分享下我对这个问题的理解。

最早对股价随机游走进行实证研究的是Cowlesand Jones(1937), 这两位提出了著名的CJ指标。CJ指标是在IIDIncrements 的随机游走模型基础上构建的。

假设股票价格服从geometricBrownian，并且没有drift,那么

                              

接着，Cowlesand Jones 构建了一个 Bernoulli coin-toss 指标

和

显然，当股票价格同向变动时Y为1，当股票价格反向变动时Y为0

根据随机游走模型，股票价格同向变动和反向变动的概率相等，所以CJ指标应该等于1，即

但是Cowlesand Jones(1937)的实证结果表明，CJ指标总是倾向于大于1，即股票价格倾向于按照向上或者向下的趋势变动。这与我们的直觉也是一致的。我之前的理解也局限于此。

但是如果到此为止就否定随机游走理论，就难免太武断了。

现在我们知道，不带漂移的随机游走模型是带漂移的随机游走模型的一个特例，我们引入漂移之后，能否解释这种理论和数据的矛盾呢？

带漂移的随机游走模型如下

指标I也重新定义

其中

显然，当漂移大于0时，I等于1得概率更大，反之，I等于0的概率更大

此时，CJ指标为

可见，引入漂移后，不管漂移为正数还是负数，CJ指标总会大于等于1，等于1的情况仅仅是一个特例.只有当pai取值为0时，也就miu为0时，CJ指标才等于1.

引入漂移后的模型很好的解释了CJ指标倾向于大于1的数据特征，但是这样的解释是否充分呢？ Campell又对Cowles and Jones(1937)的数据进行验证。

根据过去半个实际的数据，美国股指漂移平均值为0.08，波动率为0.21.

与Cowles and Jones(1937)计算出的CJ值 1.17非常接近，那么两者之间的差距在统计上是否显著呢，如果不显著，我们可以认为带漂移的模型很好的解释了CJ倾向于大于的现象，如果显著，则证明还有除了漂移外的其他因素未被发现。

根据First-order Taylor 近似和Central limit Theorem

若CJ为1.17，可以计算出对应的标准差为0.2537，因此1.19与1.17不存在统计上的显著差异。

这样，引入漂移之后随机游走模型就解释了CJ指标倾向于大于1，我也释然了。。。