Lecture Notes.
随机分析讲义
A.E.Kyprianou
英文


Contents
1 Some discrete motivation 3
1.1 Zero mean random walks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Discrete time stochastic integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Finite variance martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Simple random walks and martingale representation . . . . . . . 13
1.6 Gaussian random walks and measure change . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Construction of Brownian motion 19
2.1 Continuous time stochastic processes . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Existence of Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Brownian motion with continuous paths . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Our notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Paths of Brownian motion 30
3.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Martingales and the Strong Markov Property 38
4.1 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Stopped (super)martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 Application to the fluctuation of Brownian motion . . . . . . . . 42
4.4 The Strong Markov Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 Distributional properties of Brownian motion 52
5.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6 Basic functional analysis 58
6.1 Some elementary Lp theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.2 Some elementary Hilbert space theory . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7 Two Hilbert spaces 68
7.1 The space M2
T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.2 The space H2T
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8 Stochastic integration 77
8.1 Stochastic integrals for simple processes . . . . . . . . . . . . . . 77
8.2 Itˆo integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.3 A broader class of integrands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
8.4 The need for calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9 Itˆo calculus 88
9.1 Quadratic variation for martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.2 Proof of Theorem 160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.3 A sample calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10 Martingale representation 101
10.1 Proof of The Martingale Representation Theorem . . . . . . . . . 102
10.2 Other representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
11 Girsanov’s Theorem 109
11.1 Proof of The Third Girsanov Theorem . . . . . . . . . . . . . . . 112
11.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116



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