Contents
1 General Probability Theory 1
1.1 Infinite Probability Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Random Variables and Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Convergence of Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Computation of Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6 Change of Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2 Information and Conditioning 46
2.1 Information and ¾-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3 General Conditional Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3 Brownian Motion 78
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2 Scaled Random Walks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3 Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.4 Quadratic Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.5 Markov Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6 First Passage Time Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.7 Reflection Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4 Stochastic Calculus 116
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2 Itˆo’s Integral for Simple Integrands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3 Itˆo’s Integral for General Integrands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.4 Itˆo-Doeblin Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.5 Black-Scholes-Merton Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.6 Multivariable Stochastic Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.7 Brownian Bridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
4.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5 Risk-Neutral Pricing 195
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.2 Risk-Neutral Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.3 Martingale Representation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.4 Fundamental Theorems of Asset Pricing . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.5 Dividend-Pay ing Stocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.6 Forwards and Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

6 Connections with Partial Differential Equations 243
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
6.2 Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
6.3 The Markov Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
6.4 Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.5 Interest Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.6 Multidimensional Feynman-Kac Theorems . . . . . . . . . . . . . . . 256
6.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

7 Exotic Options 273
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
7.2 Maximum of Brownian Motion with Drift . . . . . . . . . . . . . . . 273
7.3 Knock-out Barrier Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
7.4 Lookback Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
7.5 Asian Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
7.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
7.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

8 American Derivative Securities 312
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
8.2 Stopping Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
8.3 Perpetual American Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
8.4 Finite-Expiration American Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
8.5 American Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
8.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
8.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
8.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

9 Change of Num´eraire 344
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
9.2 Num´eraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
9.3 Foreign and Domestic Risk-Neutral Measures . . . . . . . . . . . . . 350
9.4 Forward Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
9.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
9.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
9.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

10 Term-Structure Models 370
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
10.2 Affine-Yield Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
10.3 Heath-Jarrow-Merton Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
10.4 Forward LIBOR Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
10.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
10.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
10.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

11 Introduction to Jump Processes 422
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
11.2 Poisson Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
11.3 Compound Poisson Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
11.4 Jump Processes and Their Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
11.5 Stochastic Calculus for Jump Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
11.6 Change of Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
11.7 Pricing a European Call in a Jump Model . . . . . . . . . . . . . . . . 462
11.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
11.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
11.10Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

A Advanced Topics in Probability Theory 482
A.1 Countable Additivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
A.2 Generating ¾-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
A.3 Random Variable with Neither Density nor Probability Mass Function 486

B Existence of Conditional Expectations 488

C Completion of the Proof of the Second Fundamental Theorem of Asset
Pricing 490