下文是我在研究生时候写的一篇学习笔记，今天再看，感觉依然需要注意数学模型和理论模型的关系问题。
发在这里，和各位朋友商榷。

对于中介模型的一些认识：如何验证理论上的一个中介模型。

一: 中介模型在干什么？
1 中介模型分析的目的实际上就是在一个理论的因果链模型，一个数学上的线性方程组模型以及一批数据之间建立等同关系的过程。我们的目的是用数据来说明我们的理论因果链。

2 这个过程分为两个部分：1 理论的因果模型与数学方程组模型之间建立等同关系，这个过程就是模型的界定。这是一个理论问题。2 数学方程组模型与数据之间建立等同关系，这就是模型的拟合，这是一个统计问题。

二：数据模型能否说明理论模型么？它不能告诉我们什么？

在理论模型与数学线性方程组模型之间建立等同关系，我感觉是一个十分容易犯错误的过程。因为用线性方程来表明因果关系，似乎只有各个预测变量x相互独立的时候才勉强可以（因为x之间无相关则无因果，虽然这一点在非实验中也未必成立，见北大耿直教授的论文，而且这种独立在非试验条件下很难得到）。但是在中介变量的数学模型中，x与m之间的工线性不可避免（这个问题下面要讨论），甚至在数据支持部分中介的数学模型的条件下，xm,my,xy之间均有直接的偏相关。此时，关于x,y,m的线性方程将无法表明各个变量间关系的任何因果性质。通俗地说：就是路径图中，无论三个变量之间的箭头方向如何变化，都会得到同样的一组线性方程模型。此时，从方程中是看不出因果关系的。

因此，即使我们的数据能很好的拟和我们的数学模型，也不能证明我们建立的理论因果模型的正确性。理论模型中，变量的因果关系是无法从数学模型中获得证据的，必须从另外的地方寻找证据支持，证明变量之间的关系确实是因果性的，以及这种因果性的方向（谁因谁果）。这种证据似乎来自于先前的研究，以及我们研究的设计。

总之，数学模型难以告诉我们变量关系的因果性质。

三：数学模型能告诉我们什么？

如何线性数学模型被数据支持的话：它不能告诉我们关系的因果性质，仅仅能告诉我们这种关系的强度，方向（不是因果方向，而是共变方向）等信息，但是，这些信息常常包含了各种噪音。特别是变量的多重共线性，使得b值不稳定。我们从b值来判断效应的大小和方向就不是那么简单的事情了。
注：在多元线性回归中，多重共线性是个大问题，特别是对理论研究者来说，变量的效应大小和方向常常要依靠b值去判断，而多重共线性等问题常常会导致b
值的极度不稳定。

四：数学模型能被数据支持么？
我们以上讨论的假定是：数据可以证明数学模型是对的。但是在统计推断中，特别是1类错误被严格控制的情况下，我们实际在做的是证明h0模型不错。也就是说，当没有达到显著性的时候，数据所能说得，也就是h0模型可能对，做这种统计决策犯2类错误，错误可能不小。
我们是如何用数据证明我们的线性模型方程组呢？我们实际上证明了两个问题：1 方程的参数中，至少1个b不等于0。（犯1类错误），2 各个参数中，哪些b不等于0。（犯多个1类错误）。但是注意。我们并没有证明现在得到的参数数值是对的，我们仅仅在概率意义上证明了这个参数不等于0。现在的参数值是一个点估计，准确性依赖于参数的标准误。
所以。我们的数据证明的，是这个方程可能不错，但这个方程对的概率是无法估计的，因为所有的参数都是点估计。
在结构方程中，这种数据与数学模型的关系更加明显。数据仅仅证明数学模型不错，却不能说明其对。

五：一个数据可以支持多个数学模型么？
从四的分析中，可以看出，这种可能存在，参数估计方法的不同就可能导致。不过我目前对数学模型意义上的等效模型（两个具有显著意义上的不同的数学模型，数据具有相同的支持性,或者不能反驳性）没有多少认识，以后有认识再说吧。

六：总结：数据到底告诉了我们什么？数据能验证理论么？

上面的分析可以看出很多结论：我最看重一点：数据难以告诉我们变量关系的因果性质。统计学目前仅仅能帮助我们处理数据与数学模型之间的关系。但是，一个获得数据支持的数学模型与我们要探讨的理论模型之间，还有着很大很大的距离。这个距离主要在于关系的因果性的确立上。数据包含的信息，对于我们填补这个距离的帮助，起码从目前的统计学技术来看，没有什么太大的帮助。这也是目前统计学的热点之一。

所以，中介变量分析，模型的界定中，变量的数量，有没有关系等问题可以体现到数学模型中，但是关系的性质难以体现。这方面的界定，只能依赖于理论思考。对这种因果性质的检验，也似乎只能通过研究设计的逻辑严密性以及研究的重复加以检验，而不可能通过数据检验。