我是一只老鸟，五十有一。数学已有16年没有接触。看到数学习题，就想起以往考研的艰苦岁月。这道题实际就是要求你证明方程的解的存在性与唯一性。证明存在性常用“不动点”定理，纳什在证明纳什均衡的存在性就是使用的这种方法，阿罗在证明一般均衡的存在性也是使用的这种方法。证明解的唯一性用“反证法”，假设还存在另一个解，然后推出与事先的假设矛盾。两人皆因证明均衡的存在性和唯一性而获得诺贝尔经济学奖。
这道习题的存在性无需用“不动点”定理，使用拉格朗日中值定理就可以了，证明唯一性问题，使用罗尔中值定理就可以。解这道题我只用来10分钟。花了两分钟确定用中值定理，然后花3分钟到网上去查中值定理，因为早已忘了。然后思考几分钟就想出答案。数学就是这样奇怪，如果思路对头一下子就得到答案，如果思路不对头，想半天也不行。我曾经花一整晚上算一道数学题，到第二天天亮还是没有找到答案，过来几天突然想出来，那种快乐真是难以形容。
下面书归正传：
设0<x<1, f(x)-f(0)=f'(y)x,y∈(0,x) ,由拉格朗日中值定理。取y=θ(x)x,存在性得证。
设存在两个θ(x)满足方程f(x)=f(0)+f'(θ(x)x),分别表示为θ1(x),θ2(x)且θ1(x)<θ2(x)；于是有f'(θ1(x)x)=f'(θ2(x)x). 由罗尔中值定理，存在一个z∈(θ1(x)x,θ2(x)x),使得 f''(z)=0,这与假设矛盾。唯一性得证。
非常简单，是吗？

满足方程f(x)=f(0)+f'(θ(x)x)应为f(x)=f(0)+xf'(θ(x)x)

给出一个答案，看是否正确

老师，不仅仅是您对这道题的解答令我佩服，更佩服的是您的思路