我的证明的思路是：

首先，A集合中每个元素设为a(1), a(2), ..., a(i), ..., a(N)，任一a(i)没有被抽中进入B集合的概率是：(1-1/N)^N，当N足够大时，此概率就趋近于exp(-1)=0.367879..., 也是说任一a(i)被抽中进入B的概率=1-0.367879=63.2121% （就是你所说的“只是说明每个观测进入数据集B的概率为63%”，但是，不只是这个结论，继续往下看）

第二，构造一组独立同分布（贝努利分布）的随机变量x(1), ...x(i),..., x(N)。而每个x(i)的定义是：若a(i)被抽中进入B集合，则x(i)=1；否则x(i)=0。由于a(i)被抽中进入B的概率是63.2121%，即，每个x(i)~Bernoulli(63.2121%)。

再构造一随机变量S，令S=x(1)+x(2)+...+x(N)，不难发现，S正好就是B集合中包含多少个A中元素的数量（因为被抽中进入B集合的A中元素，不管被抽中多少次，在S中仅计入一个1，没被抽中进入B集合的A中元素，在S中计入一个0，那么S正好就是B集合中包含多少个A中元素的数量）。由于S是N个独立同分布的贝努利分布变量之和，就是符合了二项分布，即 S～Binomial(N, 63.2121%)。所以，S的期望（即B集合中包含多少个A中元素的数量的平均值）=N×63.2121%

我水平有限，欢迎批评指正。

cool!很清晰的逻辑，表达的也到位，多谢用心了！