不错，我也这样赞同，不过这就要设计方法论的问题，不好研究啊。

关于那个凹和拟凹的问题，本来我也不提的，ng上课的时候讲了，

拟凹推出的是序数性质，凹推出的序数性质和基数性质，从这个观点来说，

我觉得我说得对，生产和消费是不同的。所以生产函数应该是凹函数，充要条件。

“生产函数是凹函数”和“投入要求集凸是生产可能集凸的必要非充分条件”两者不矛盾啊，从我的图中看得很明显啊。

请luckly展开说一下，这个说法以前没听到过，可惜第一节课我没去。

完全不可惜，第一节课我也没有听出什么特别的意思来，可能还是自己差太多吧。刚一一浏览了楼上诸帖受益颇多。我倒是觉得Ng这样讲高微也还有好处，基础工夫还是要自己来下。不过就是人也太多了。但不知道一刹春和nie的课间交流有什么评价性内容没有？

看了前面的帖子，实在不明白为什么这样的结论也要争一番。让我来说几句吧。拟凹函数和凸集的关系是定义出来的，不是证明出来的。上等值集凸自然有拟凹的性质，因此，对于生产而言，凸投入要求集就等价于拟凹生产函数；对消费而言，凸偏好性质就等价于拟凹消费函数。但凸投入要求集却不等价于凸生产集，因为存在规模报酬时生产集就是非凸了。这有什么问题？

由于现实的问题，我用"<"表示属于，（一个元素属于这个集合）,用===表示等价，即充要条件。

证明：凸投入要求集却等价于凸生产集

设x<v(y) === z=(-x,y,0)<Z

x'<v(y) === z'=(-x',y,0)<Z

因为 az+(1-a)z'<Z

=== (-[ax+(1-a)x'],y,0)<Z

=== (ax+(1-a)x')<v(y)

因此得 v(y)的凸性 === Z的凸性

证明完毕

大家可以看这是平新乔给的证明，我也没看出有什么问题。

希望大家指正。

我也觉得很奇怪，如果生产函数要求拟凹的那为什么马斯克莱尔那本书，不直接写出来？

如果是拟凹的，那为什么ng会说那么多？

为什么要使用拟凹这个定义，凹难道就不够吗？不解。

基数性质，和序数性质，mwg书的ch6，中间证明期望效用的时候，用到了。大家可以参考。

读了39楼的证明，有一不明之处请帮助解答：平新乔也说这个证明是充分必要条件吗？(我手边没有他的书)

Luckly给出的证明只证明了生产可能集凸，则要素需求集凸，而不是充分必要条件的证明。

不是，他开始证的是，两个不等价的，

后来一个关系，说，所有关系都是等价的，

所以也可推出，就用这个方法，逆过来。

你可以试一下，我试了一下，似乎可以。

如果要反过来证Z的凸性的话，就应该是(-[ax+(1-a)x'],[ay+(1-a)y'],0)<Z，而非(-[ax+(1-a)x'],y,0)<Z啊！

对吗？已知v(y)凸的，为什么应该是(-[ax+(1-a)x'],[ay+(1-a)y'],0)<Z，而非，(-[ax+(1-a)x'],y,0)<Z

证明由v(y)的凸性 推出 生产集的凸性

x<v(y)，x'<v(y)，则由v(y)凸，得(ax+(1-a)x')<v(y)，然后(-[ax+(1-a)x'],y,0)<Z

然后(-[ax+(1-a)x'],ay+(1-a)y,0)<Z 然后

又因为，az=(-ax,ay,0),(1-a)z'=(-（1-a）x',（1-a）y,0)

所以：az+(1-a)z'=(-（ax+(1-a)x'),ay+(1-a)y,0)

所以：az+(1-a)<Z

不错，我又看了一下，你说得对。

今日黄老邪的讲课波澜不惊，除了上午临下课前讲到2.4 Duality in Consumer Theory 时受一位听众误导，略有差池之外（其实他的讲义和ppt原本是对的），其余倒也中规中矩。

课间出了一道习题，押痕字韵的《七绝》：“飒爽英姿五尺生，曙光初现人大晨，中华儿女多奇志，不爱睡觉爱··”，要求补足最后两字，Ng给出的答案是“方程”，在我意料之中，但我觉得似乎“均衡”更妥，毕竟是门经济学的课，请大家斟酌。

Kreps借我看看，我正在翻McFadden那本。

听说有人写匿名信建议Ng提高讲课的难度，希望能奏效。

希望学有余力的同学一起来阅读黄大师在课上提到的得意之作，这才是大师功力真正之所在：

1、酒鬼与吉芬品：Y.-K. Ng, “Step-optimization, secondary constraints, and Giffen goods”, Canadian Journal of Economics, November 1972, 553-560.

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本附件包括：

• Step-Optimization, Secondary Constraints, and Giffen Goods(CJE1972).pdf

2、无负担税收与纯钻石品：Y.-K. Ng, “Diamonds are a government’s best friend: Burden-free taxes on goods valued for their values”, American Economic Review, March 1987, 77: 186-191.

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本附件包括：

• Diamonds Are a Government's Best Friend_Burden-Free Taxes on Goods Valued for Their Values(AER1987).pdf

3、向上倾斜的需求曲线与混合钻石品：Y.-K. Ng, “Mixed diamond goods and anomalies in consumer theory: Upward-sloping compensated demand curves with unchanged diamondness”, Mathematical Social Sciences, 1993, 25: 287-293.

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本附件包括：

• Mixed Diamond Goods and Anomalies in Consumer Theory_Upward-sloping Compensated Demand Curves with Unchanged Diamondness(MSS1993).pdf

4、自费留学与买彩票：Y.-K. Ng, “Why do people buy lottery tickets? Choices involving risk and the indivisibility of expenditure”, Journal of Political Economy, October 1965, 530-535.

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本附件包括：

• Why do People Buy Lottery Tickets_Choices Involving Risk and the Indivisibility of Expenditure(JPE1965).pdf

5、左轮手枪的威胁与社会福利函数：Ng, Yew-Kwang (1975a), "Bentham or Bergson? Finite Sensibility, Utility Functions and Social Welfare Functions", Review of Economic Studies, 1975, 545-570.

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本附件包括：

• Bentham or Bergson_Finite Sensibility, Utility Functions and Social Welfare Functions(RES1975).pdf

[此贴子已经被作者于2004-12-13 10:11:46编辑过]

我上课听的感觉，都是开头说的消费的外部性的model，

其实，我们很多人都注意到这一点了，但是把它model化就比较困难，

我觉得我们也应该强调l技巧，

例如，上课时说的，效用函数存在一个渐进线的情况，我费了老大劲才想了一个出来。

不知道各位感觉如何。

其实也还好。课上有个同学就提过y=arctan(x)，当然这个比较特殊。

其实我们只要考虑什么样的常用函数有渐近线不就完了，中学解析几何告诉我们，双曲线是有渐近线的啊，所以满足要求的效用函数肯定可以由x²-y²=1进行坐标轴的旋转和平移变化得到。这个形式就比较一般化了。

今日课后习题：请对出下联——

姓左心左，左大培培大左

要求：相同位置词性相同，左、培二字处平仄相对

今天那位写匿名信的同学被大家鄙视了，呵呵。

所谓序数性质,是指通过任意递增变化都可以保持的性质,如递增性本身,一个递增函数的递增变换还是一个递增函数.拟凹性也是序数性质. 而基数性质,就是那些不能保持的性质.如拟线性.