盼高手!
P31,关于序列的有界性和依概率有界性。
写道“若以{Cn}记作一个非随机序列,则它是有界的(记作O(1))的充分必要条件是它是依概率有界的(记作Op(1))”,我证了半天没证出来,求高手解惑。以下是我的思路:
(1)先证必要性。则若Cn是O(1),则Cn是Op(1)。
当{Cn}是有界的时,则依定义,设Cn的绝对值小于一个数b,且b小于无穷,对于n=1,2,……都成立。
则对于任意ε>0,只要取bε>b,则一定有Cn的绝对值小于bε,对于n-1,2,……都成立。
从而P[Cn的绝对值≥bε]=0<ε,则非随机序列{Cn}是依概率有界的。得证。
(2)再证必要性。若Cn是Op(1),则Cn是O(1)。
本打算用反证法证明,但发现如下的一个反例。
若非随机序列{Cn}的各项为0,∞,0,0,……,则依照定义,它并不是有界的。
但另一方面,对于任意ε>0,都存在一个bε>0和一个整数nε,使得当n>nε时,有P[Cn的绝对值≥bε]=0<ε,这里只需要使nε>2即可成立,则它又是依概率有界的,(Op(1))。
我这样的证法对吗?