为什么无限循环小数 0.999… 等于 1？
证明过程：
a=0.999...无限循环
10a=9.999...
10a=9+0.999...
10a=9+a
9a=9
a=1
故1=a=0.999...

这到底是为什么啊？

一个大学都上不了的蠢材，高中数学考了几分？

如果这还不足以让你动摇，试试把0.999…乘上10，也就是将小数点向右挪了一位，所以我们得到了

10 x (0.999…) = 9.999…

现在把两边的烦人小数都去掉，我们在等式两边同时减去0.999……

10 x (0.999…) - 1 x (0.999…) = 9.999…- 0.999…..

得到了9 x (0.999…) = 9.

什么数乘以9会等于9？自然是1。

对于大部分人，这种证明方法就足够了。但是老实说，这套证明体系缺了点什么，也没有真正解决0.999……=1的不确定。事实上这种手段只是用了些代数上的小把戏，你不会真的以为1/3=0.333……吧？

比起相信1/3=0.333……，其实还有更可怕的：

1 + 2 + 4 + 8 + 16 +…?

省略号在这里的意思是相加过程会永远持续下去，每次相加的数字大小都是上一次的两倍。这么大的和毋庸置疑应该是无穷大了。但是你试试乘以2，会发生什么？

2 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 +….) = 2 + 4 + 8 + 16 +…

好像和原来的和差不多，只是(1 + 2 + 4 + 8 + 16 +…)前面多了个1，所以(2 + 4 + 8 + 16 +…)比(1 + 2 + 4 + 8 + 16 +…)小1，换句话说：

2 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 +…) - 1 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 +…) = -1

相减得到：

1 + 2 + 4 + 8 + 16 +…= -1

将越来越大的数字相加无限次，结果却等于-1？

更疯狂了来了，求下列无穷和：

1–1 + 1–1 + 1–1 +…

有人会这样理解：

(1-1) + (1-1) + (1-1) +…= 0 + 0 + 0 +…

除了上面这种和为0的观点，还有一种理念认为应该这样看待算式：

1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) -…= 1–0–0–0…

结果和为1，到底是0还是1？还是“一半时间是0，一半时间是1？”最后的值是多少取决于你停在那里，但是无穷和是不会停的！

先不要着急下结论，我们先假设T是这个神秘的和：

T = 1–1 + 1–1 + 1–1 +…

两边同时取负

-T = -1 + 1 - 1 + 1 -…

我们注意到右边刚好是T-1，也就是说：

-T = -1 + 1 - 1 + 1 -…= T - 1

所以-T = T - 1,这个方程只有当T=1/2时才有解。一个由许多整数相加的无穷和到最后竟然神奇地出现了分数解？

你是不是还是觉得没有道理？但是包括意大利数学家格兰迪在内的一些人表示1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +…最后会出现分数解，许多时候，人们将1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +…称为格兰迪级数。在1703年发表的一份文章中，格兰迪认为这个发散级数的和应为1/2，这个不可思议的结论也代表了宇宙从无到有的造物过程，许多当时的著名数学家，包括莱布尼茨和欧拉都赞同格兰迪的计算，不过不包括他的证明过程。

实际上，0.999……之谜的答案还需要更深入的探索。你无须勉强同意我的代数解法，你完全可以坚持认为0.999…不等于1，而等于1减去一个无穷小的数。既然说到这里，0.333……同样不等于1/3，同样差无穷小的那么一点点。要证明这点需要一点力气，不过也不是做不到。在数学领域，非标准分析这门学科就是专门研究这种数字问题的。非标准分析理论由亚伯拉罕·罗宾逊在20世纪中期创立，也正是非标准分析的出现，人们才终于搞清楚了无穷数的概念。要研究无穷数，你不仅要研究无穷小数，还要研究无穷大数。

好吧，回到我们的问题上来，0.999…到底是什么？是1么？还是比1小无穷小的数？

现在揭晓正确答案：0.999……可以表达为：

0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 +…

这又是什么意思？其实看着让人厌烦的省略号才是真正的问题所在。如果我们有100堆东西，我们还是可以数得出具体数量。但是无穷多我们要怎么办？问题变得不一样了。真实世界绝不可能出现无穷多的“堆”。那么无穷和的数学值又是什么？答案是——除非我们给于一个值，否则不存在这样一个值。法国数学家柯西提出了这个伟大创新理念，他在19世纪20年代将极限这个概念引入了微积分。

伟大数学家哈代在《发散级数》一书中很好的解释了这个问题：

“除非符号分配被定义，现代数学家从来不会认为数学符号有‘意义’，即便是18世纪最伟大的数学家也不觉得定义符号是件琐碎的事情。现在的数学家们都没有定义的习惯：他们觉得写上“我们将X定义为Y”这么许多字相当不自然。”在柯西之前，大多数数学家都会问“1 - 1 + 1 - 1 +…等于几？”，他们不会问“如何去定义1 - 1 + 1 - 1 +…？”这种思维习惯让这些数学家陷入不必要的困惑和争论中。

随着你0.9 + 0.09 + 0.009 +…不断相加下去，最后的值会越来越接近1。最后这个无穷和会随着无穷的相加，最终到达1，并且永远留在1的位置。哈代则认为，这个无穷数应该被简单地定义为1，他也花了一番功夫证明这样定义不会造成其它地方出现什么大矛盾。

对于格兰迪级数1 - 1 + 1 - 1 +…，柯西的理论不管用了。用Lindsay Lohan的名言说就是：极限不存在！

崇尚柯西解法的挪威数学家Niels Henrik Abel在1828年写道：“发散级数是恶魔发明出的东西，任何基于发散级数的证明都是自取其辱。”而哈代的观点(也是我们今天的观点)更为宽容。对于某些发散级数，我们可以赋值，对于另一些发散级数，我们则不应该赋值。现代数学家会说如果要对格兰迪级数赋予一个值，那么就应该是1/2，因为在所有关于无穷和的理论中，但凡能够引起一些注意的，要么认为这个级数的值为1/2，要么像柯西一样拒绝赋值。1+2+3+4……这个级数的情况也很相似，这是一个发散级数，柯西会说这个级数没有值。但是如果真的要给这个级数一个值的话，-1/12可能是最好的选择。

0.999…这个问题之所以能引起如此大的争论，因为它与我们的直觉不符。我们希望任何一个无穷级数都恰好能够符合运算操作，所以好像0.999……需要等于1。另一方面，我们希望每个数字都有一串唯一的小数位数表示，这就与同样一个数既可以用1表示，也可以用0.999…表示相矛盾。两种愿望无法共存，所以必须舍弃其中一个。柯西用独一无二的十进制展开打开了一扇解决这个问题的窗户，在提出后的2个世纪里，这种解法的价值得到了充分证明。

虽然英语有时候使用两种不同字母串(例如，两个单词)来表示世界中一样相同东西的两种同义词，但是我们并没有因此产生任何困扰。同样的，两种不同的数字串表示同一个数字也不是什么天塌下来的事情。

0.999……等于1么？没错，0.999……确实等于1。前提是我们大家一致同意这个不断重复的无穷小数的意思就是1。

大哥先转帖复制以上这些吧。够了吗小傻？？

哥在这里所说的方案，是最佳的，这不但符合了人类的逻辑，而且保持了人类逻辑的一致，没有去分裂它。

1，规定数字0.999.........，不等于数字0.999......的极限值。

2，规定数字0.999........不等于1。

3，规定数字0.999.....的极限值，等于1。

大约35.8分。你呢小傻？

你是说你？还是说我？

是那个和的极限等于0.999……，而不是0.999……的极限。这么说能懂么

小傻，你这人智商低，知识低，还不诚实。

大哥高中数学考试成绩大约35.8分，所讲的，你就不懂，还批驳不了。


因为啊，大哥讲的那是数学原理，元数学。岂是你这种知道分子能懂得的？？？

小傻，你这人一眨巴小眼，就撒谎。丢人不丢人？智商低不低啊？

你干脆跑大街上啊，碰瓷算了。你多聪明啊你。


小傻，大哥我智商145，智慧198，智力嘛，你猜？

再给你复制一次吧，小傻。


复制如下：

大哥帮帮你啊，如下转帖复制：

0.9999......有极限吗


如果你是高中学生这个问题是很容易解决的
高三数学书上关于这方面的只是解答的非常详细！

懂。你是撒谎的屁专家。连撒谎，都很没智慧，太没智慧了。

小孩心眼，长不大。井底小蛙。

我宣布：

小包是一本，小W是本二，小7是三本重点专科。


鄙人给你们证明。证明0.999.....不等于1。


0.9=1吗？不=。
0.99=1吗？不=
0.999=1吗？不=。
0.9999=1吗？不=。
0.99999=1吗？不=
。。。
0.999.........999.....999=1吗？不=


。。。。


0.99........................................,999999,99..............9=1吗？不=。


。。。。。。。


由于时时不=，处处不=，随时随地不=，所以，0.9999......不=1。

证毕。

困觉去了。不和这仨玩了。

鄙人再证明一回。

设一个人类，往前前进，每秒钟1米整。

后面有3个乌龟，互相拱进，合计每秒前进0.9999........米。

问：乌龟何时能够追上人类？？？

问：如果人类前进无限长的时间，则乌龟能否夺得竞走冠军？





大哥回答说：

根据人类的初中数学，可以证明：

3个乌龟在有限时间内，例如100秒钟内，仅能爬行0.999.....米，合计爬行0.999.....米，而人类在此时间内能够前进100米整。

3个乌龟在无限时间内，例如正无穷秒钟上，能爬0.99999.....米，合计爬行0.999....米，而人类在此进程中前进了无限长距离。

所以，在任意时间上，人类总是竞走的冠军。


证毕。

大哥解释一下啊，


3个乌龟在任意的1秒钟时间内，随时间的流逝，完全能够爬行0.999....米。

在技术上，这表明：乌龟的头长在前部，且以脖子为轴做圆周形往复运动。当头从上往下运动，则鼻子的尖尖刚刚正要立即触及跑道上的1米整的刻度线，且立即正要回缩。亦即，此时是已经达致1米整刻度线，而又未达致1米整刻度线，头呈圆周形往复运动，点头致意。

参考文献：《芝诺悖论》