❀  引言

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断点回归是一个能够让我们识别 localized causal effect 的一种技术。 具体内容可见上回推送：谈谈因果识别与断点回归设计（RDD）

今天，给大家带来的是非参估计下的断点回归。

上篇推送的例子主要是基于线性关系的假设。也就是：图上都是直线.....

但是，更令人感兴趣或者说更接近现实的是，因变量和自变量之间存在非线性的关系（nonlinear）。也就是今天的重点：非参数断点回归！

❀❀  RDD 的前提及检验

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在进入正题之前，我们先来回顾一下断点回归的前提。

在统计学和计量经济学中，所有基于非实验数据的识别方法都希望能够符合“外生性”假设，就是说，导致结果变量 y 的原因变量 x 跟残差项是不相关的。

在这个例子中，那些获得 treatment 的人和没有获得 treatment 的人是 systematically 不一样的。

在断点回归的假设中，

❀    因为 cut off 在事前是不知道的，

❀❀ X 变量的取值又是不能完全被操控的。

那么在政策评判标准出来之后（公布cut off）,在断点周围近距离的两组人就不会是：systematically 不一样的。

在实际操作中，一般我们怎么检查这两个前提在你的例子里面是否成立呢？ 1） 样本数量分布check：做一个样本分布的 density 图（stata  histogram 命令），在断点附近样本的 density 是基本一致的，至少不能出现跳跃。2）样本的组成 check，利用一些 pre-determine 变量对断点左右两组人进行事前特征对比，证明这两组人的事前特征无显著差异。两个检验通过，那么随机就能够得到保证。

那么，我们可以自信地说因为这两个前提，使得 cut off 对于断点附近的个体来说相当于一个随机的外生变量。这样我们得出来的 Causal effect 就是很干净的，至少比起 IV，DD 等常见方法都干净。比如，一般地，在 IV 方法中，我们面临着严重的 untestable 问题；在 DD 方法中，我们很难下论断说控制组和实验组都是随机的，只要非随机，别人就可以质疑你的结果；在 PSM 方法中，永远存在遗漏变量问题，那么就跟 OLS 一样了，此时，核心变量的系数是正是负都无法确定，这就尴尬了。

下面将通过：个体“上暨南大学”的效益和 这个个体“未来的表现（假设是一个综合性指数 Performace Index）”的例子来说明。即 “performance” 变量为 outcome ；“暨大” 为 treatment； treatment 根据 score(高考分数)来决定。

❀❀❀  模拟数据生成

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clear

set obs 10000

set seed 100

gen score = 3^((runiform()-.75)*4)

label var score "高考分数"

sum score

gen perf0 = ln(score) + sin((score-r(min))/r(max)*4*_pi)/3 + 3

label var perf0 "Performance Index - Base"

scatter perf0 score

*从散点图可以看到很漂亮的非线性关系。

* 让我们来点黑暗料理（Random Noise）

gen perf1 = perf0 + rnormal()*.5

label var perf1 "Performance Index - with noise"

scatter  perf1 score

*安装 rcspline 命令

* ssc install rcspline

rcspline perf1 score,  nknots(7) showknots title(三次样条曲线)

recode score (0/0.5=0) (0.5/3=1), gen(暨大)

sum 暨大

* 加一点“暨大”效应

*标准化 Running Variable

gen score_center = score-0.5

gen perf2 = perf1 + 0.5* 暨大 - 0.1*score_center* 暨大

label var perf2 "Observed Performance"

❀❀❀❀   估计

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rcspline perf2 score_center,  knots(.15 .25 .35 .37 .4 .45 .5 .55 .6 .65 .75 .85 1.1 1.25 1.5) title(三次样条曲线)

reg perf2 score  暨大

我们可以看到这里估计出来的“暨大”效应是完全偏离我们模拟数据时的设定系数（0.5）。

rdrobust 命令下的估计

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*findit rdrobust

rdrobust perf2 score_center

* 此命令用到来选择 bandwidth 是 CCT 方法

rd命令下的估计

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*findit rd

rd perf2 score_center

*rd命令中默认的 mbw 是 "100 50 200" ,就是说该命令根据 100 MSE (mean squared error) 的最小化来选取 bandwidth,（接着是 50一半 和 200 两倍）。

bandwidth的背后是啥？

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* 我们可以把使用不同带宽情况下的估计值画出来。

gen effect_est = .

label var effect_est "Estimated Effect"

gen band_scale = .

label var band_scale "Bandwidth as a Scale Factor of Bandwidth that Minimizes MSE"

forv i = 1/16 {

  rd perf2 score_center, mbw(100 `=`i'*25')

    if `i' ~= 4 replace effect_est = _b[lwald`=`i'*25'] if _n==`i'

    if `i' == 4 replace effect_est = _b[lwald] if _n==`i'

    replace band_scale = `=`i'*25'     if _n==`i'   

}

gen true_effect = .5

label var true_effect "True effect"

two (scatter effect_est band_scale) (line true_effect band_scale)

我们可以看到在一开始带宽比较窄的时候，估计值是比较稳定且接近真实值的，而后就剧烈的偏离了。

在RDD方法的 bandwidth (带宽) 背后其实是一对 trade off，因为 RDD 前提成立时，则局部随机，bandwidth 太大的话，估计结果的随机性就降低了，远离断点的两组个体可能是 systematically  不一样的；但是如果带宽太小的话，估计值的准确性会因样本量太少而受到威胁。所以在非参 RDD 中，带宽的选择是一个很大的学问。有兴趣的读者可以继续阅读参考文献。

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