STOCHASTIC PROCESSES FOR FINANCE RISK MANAGEMENT TOOLS
Notes for the Course by
F. Boshuizen, A.W. van der Vaart, H. van Zanten and K. Banachewicz
(PARTLY) CORRECTED DRAFT, September 2005

CONTENTS
1. Pricing derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Hedging a Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Binomial Tree Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1. One Period Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. Two Period Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. N Period Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3. Discrete Time Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . 8
3.1. Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2. Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3. Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.4. Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.5. Change of Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.6. Martingale Representation . . . . . . . . . . . . . . . 12
4. Binomial Tree Model Revisited . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.1. Towards Continuous Time . . . . . . . . . . . . . . . 16
5. Continuous Time Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . 18
5.1. Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.2. Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.3. Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.4. Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.5. Generalized Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . 20
5.6. Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.7. Stochastic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.8. Geometric Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . 24
5.9. Stochastic Di®erential Equations . . . . . . . . . . . . 24
5.10. Markov Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.11. Quadratic variation - revisited . . . . . . . . . . . . . 25
5.12. It^o Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.13. Girsanov's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.14. Brownian Representation . . . . . . . . . . . . . . . 30
6. Black-Scholes Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.1. Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.2. The Fair Price of a Derivative . . . . . . . . . . . . . 33
6.3. European Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6.4. The Black-Scholes PDE and Hedging . . . . . . . . . . 36
6.5. The Greeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.6. General Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.7. Exchange Rate Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . 39
7. Extended Black-Scholes Models . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.1. Market Price of Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.2. Fair Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.3. Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.4. PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8. Interest Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.1. The Term Structure of Interest Rates . . . . . . . . . . 48
8.2. Short Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.3. The Hull-White Model . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8.4. Pricing Interest Rate Derivatives . . . . . . . . . . . . 57
8.5. Examples of Interest Rate Derivatives . . . . . . . . . . 59
9. Risk Measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.1. Value-At-Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.2. Normal Returns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.3. Equity Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.4. Portfolios with Stock Options . . . . . . . . . . . . . 68
9.5. Bond Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.6. Portfolios of Bonds and Swaptions . . . . . . . . . . . 71
9.7. Diversi¯ed Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . 73