3分钟告诉你经济学中微分、几何之间的一个关系(2009-06-25 22:27:23)

标签：需求函数 微分 pq 最大值 教育

经济学很重要的一个概念是价格需求函数，如下图：

此图指价格的增长会使需求量减少，需求量的增长会使价格增加。
假设上图价格需求函数直线交P轴于1，交Q轴于2，则可得出价格需求函数为Q=2-2P。可得出此商品的销售额S=PQ=P(2-2P)=2P-2P2。P和Q是线性关系，我们可以看出要求PQ的最大值，就是在价格需求函数上找一点，过这点做垂线使之与P轴、Q轴围成的面积最大。如果要算此商品的最大销售额，就必须确定一个P的值使S最大。
我们可以借助微分来求，我们已知S=2P-2P2，则S'=2-4p, S''=-4，当P=1/2时，有S'=0，此时S''<0,所以可知此时S取极值，也就是最大值。此时在函数直线上所取的点恰好是价格需求函数与P轴、Q轴围成的三角形斜边的中点，由此我们可知在直角三角形中，若要裁减一个矩形使之面积最大，则应选取各边中点连线。
经济学另一个很重要的一个概念是需求弹性，讲的是需求的变化量与初始需求之比除以价格的变化量与初始价格之比，我们用符号E表示。它表示价格的变化对需求变化的影响，如果价格增长1%，需求便同时下降1%，那么此商品的需求弹性为1。
又因为S'=(PQ)'=P'Q+PQ'=Q+PQ'=Q（1+ ）=Q(1-E),可看出当弹性系数E=1时，也就是价格与需求同比例反向变动时，S’=0，此时S可取得最大值。
我们可以看出，无论用用微分还是用几何，都可求得销售额函数的最大值，我们可看出弹性系数取值与销售额取最大值之间的联系。这也间接证明了直角三角形怎样剪裁可得最大矩形面积。