高山晟讲得倒是简洁，也许他是对的。

不过我最想知道，单单有符号交错，不等号不严格成立，需要附加什么条件才能推导出函数拟凹？几本书都没有讲。

高、弗、蒋、匡各书表述不同，存在互相矛盾，但是对于经济学上有意义的非负象限、正则函数而言，我总结一下，有以下的一致意见：

拟凹的充要条件是符号交错，严格拟凹的充要条件是不等号严格成立。

阿罗的文章

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本附件包括：

• 1961,Econometrica,Quasi-Concave Programming.pdf

多谢bluesky大哥的这篇论文，不知可有Kuhn-Tucker的经典论文“nonlinear programming”，收录于“proceedings of the second berkeley symposium on mathematics statistics and probability”1951

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前者显然是对的。但是不严密。

“但是蒋中一上却讲，拟凹的必要条件是符号交错，拟凹的充分条件是不等式严格成立，而且没有提到严格拟凹。”

Alpha Chiang是把一个很麻烦的东西简单的说了。Akira Takayama的那本书上也有关于拟凹的充分必要性的叙述，似乎也有点小的差异在里面。我没看懂，所以背下来了。再加上考试中一般只要求严格拟凹。

可以去看看Akira的书上是怎么说的，反正有一个不是充分必要条件。

关于拟凹性质的探讨是在arrow和enthoven的那篇论文（即bluesky传的）中进行的，但用到了samuelson在“经济分析的基础”重的一个结论：等式约束最优化的二阶必要和充分条件（在takayama书的“古典最优化”章中有引用，但没给出证明称为sonc,sosc）；结论是加边主子式严格正负交替（与(-1)^r，r为加边主子式的阶数同号），那么f(x)是拟凹，严格拟凹，伪凹，严格伪凹；f(x)是拟凹的必要条件是加边主子式正负交替（不要求严格）。

我现在就是不知道samuelson在“经济分析基础”中那个二阶条件是怎么推出的（在400页左右，突然就出来了，昨天和今天想了很久没出来，也找不到进一步的文献）。

但是我觉得：由于等式约束只具有局部性质，也就是它在每点处的加边主子式是各不相关的，所以应该没有凹函数的性质（每一点处的主子式符号交替是凹的充要条件）；即加边主子式符号交替不能推出f(x)拟凹。acemoglu的例子证明了这一点。

takayama的书是相当不错的。值得推荐。