Contents
1 Introduction.
2 Review of probability.
2.1 Properties of expectation. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Convergence of random variables. . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Convergence in probability. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Norms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Information and independence. . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Conditional expectation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Continuous time stochastic processes.
3.1 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Filtrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Stopping times. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Brownian motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Poisson process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Martingales.
4.1 Optional sampling theorem and Doob’s inequalities. . . . .
4.2 Local martingales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Quadratic variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Martingale convergence theorem. . . . . . . . . . . . . . .
5 Stochastic integrals.
5.1 Definition of the stochastic integral. . . . . . . . . . . . . .
5.2 Conditions for existence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Semimartingales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Change of time variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Change of integrator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Localization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Approximation of stochastic integrals. . . . . . . . . . . . .
5.8 Connection to Protter’s text. . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Covariation and Itˆo’s formula.
6.1 Quadratic covariation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Continuity of the quadratic variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Ito’s formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 The product rule and integration by parts. . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Itˆo’s formula for vector-valued semimartingales. . . . . . . . . . . . .
7 Stochastic Differential Equations
7.1 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Gronwall’s inequality and uniqueness for ODEs. . . . . . . . . . . . .
7.3 Uniqueness of solutions of SDEs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 A Gronwall inequality for SDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Existence of solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Moment estimates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Stochastic differential equations for diffusion processes.
8.1 Generator for a diffusion process. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Exit distributions in one dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Dirichlet problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Harmonic functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Parabolic equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Properties of X(t, x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7 Markov property. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.8 Strong Markov property. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.9 Equations for probability distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.10 Stationary distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.11 Diffusion with a boundary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 Poisson random measures
9.1 Poisson random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Poisson sums of Bernoulli random variables . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Poisson random measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Integration w.r.t. a Poisson random measure . . . . . . . . . . . . . .
9.5 Extension of the integral w.r.t. a Poisson random measure . . . . . .
9.6 Centered Poisson random measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7 Time dependent Poisson random measures . . . . . . . . . . . . . . .
9.8 Stochastic integrals for time-dependent Poisson random measures . .
10 Limit theorems.
10.1 Martingale CLT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Sequences of stochastic differential equations. . . . . . . . . . . . . .
10.3 Approximation of empirical CDF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Diffusion approximations for Markov chains. . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Convergence of stochastic integrals. . . . . . . . . .