5# shulunaihaozhe

问题的关键是你没搞清楚“投标人是对称的”
在对称的前提下，每个投标人获胜的概率都是相等的，即1/N
在expected payment 里面当然也就含有了1/N的概率

另外，在存在保留价问题上，如果投标人中只有一个是按保留价r投标，其他的都小于r，那么expected payment就是r；
expected payment的大小与所有投标人的bid有关，你盲目的计算当然也就比较不出expected payment与r的大小，更不用说与1/N的关系。

你的回复给我不少帮助，我再琢磨一下其中的关系，实在是谢谢你了！

这个问题不难。首先卖者收益等于买者支付的加和。假设Xi是bidder i的支付，这是一个random variable，那么卖者收益就是E(X1+X2+,...,+Xn)=E(X1)+E(X2)+,...,+E(Xn)=nE(X1) 因为对称性。没什么条件不条件的。

如果底价是r，那投标人的期望支付可能大于、等于、或小于r。
假设r=0，那当然是大于r。
如果r很大，那当然小于r。
对于最有底价r*来说，一般期望支付要小于r。

首先谢谢大家的指导！
我想了很久觉得下面理解方式或许稍为合理：
1.就是在求得每一个人的期望支付之后，如果直接作为卖者期望收益的话，即E（R）=E（m（X）），就是承认了单个投标者以该期望支付叫价而中标，包含了单个投标者以期望支付叫价就可中标的信息；
2.而ex ante expected payment指的是一个投标者在不知道物品价值（信息）的情况下的期望支付，不含有该投标者一定获得物品的信息；
1与2之间是一个矛盾！
同时，正是由于信息（对物品估价）的不确定性导致了这种期望支付的存在，其中包含了一定的概率因素，由2及对称的条件可知：该投标者获得物品的概率为1/N；
因此说E(R)=N*E(m(x))
大家再看看我的理解有没有错误？多谢了！

汗。。。这个问题。很难哦。。。

不好意思，你的理解不完全正确。

单个投标者的期望支付=他的支付×他中标的可能性。他不会以期望支付叫价，他的叫价是他认定的物品价值 X (in a second-price auction)，他也未必能中标。

卖者的ex ante expected payment指的是“卖者不知道投标者认定的物品价值情况下的支付”，而不是你说的“投标者不知道物品价值”。投标者当然知道物品价值，这是他的private information，别人不知道。

一个投标者获得物品的概率不是1/N，而是取决于他认定的物品价值X。之所以乘以N的唯一原因就是

E(卖者收益）=E(投标者1的支付+投标者2的支付+...+投标者N的支付)=E(投标者1的支付)+...E(投标者N的支付)=NE(投标者1的支付)

最后一个等式成立是因为卖者不知道每一个投标者认定的物品价值，所以在他眼里这些人都是一样的。




11# shulunaihaozhe

如果还不理解就把这章从头到尾再看一遍。Vijay这本书有时候得多读几遍才能体会到，他说他马上要出这本书的第二版了。

14# JustinZJ

多谢了!
原文中第20页是这样说的：
Because the expected revenue of the seller is just the sum of the ex ante (prior to knowing their values) expected payments of the bidders；
而附录F中第281页是这样说的：
the interim stage–that is, when players know their own signals；
the ex ante stage–that is, before players know their own signals；
原文中括号中的内容的主语要是卖者还是投标者我再思考思考；
后面附录中的主语就是投标者了；

“最后一个等式成立是因为卖者不知道每一个投标者认定的物品价值，所以在他眼里这些人都是一样的。”这句话很好！

有时候一些问题刚刚接触就是很难搞清楚，也许解决疑惑的钥匙不在本章，学到后面就自然而然明白了，学习和与人交往一样，投入的多了也就自然而然学会的多，对拍卖很感兴趣，现在开学了要赶读读弗登博格的博弈论（导师任务），本来就不太容易读，翻译的错误又不少，读的时候还要勘误！幸亏以前还读了一些简单的博弈论书籍，否者真是...

大家渊博的知识，无私奉献的精神，使我备受感动，再次感谢abamboo ，JustinZJ 的帮助，ren-xian ，织田信谦等人的关注，谢谢大家了！

弗登博格这本书难度还好，但是不太容易坚持下来，即便你咬牙坚持。主要是包括的内容太多了，而且并不都很有用。我见过很多人信誓旦旦的要读，但第一章都没读完。你如果是初学博弈论，我倒是推荐MIT的这个课程：
http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Econom ... ourseHome/index.htm
上面有讲义，作业，考试题，以及作业考试的答案。很适合自学。

谢谢你这么热心！MIT的课程我看了一下，挺好的！
不过弗登博格的书还是要看的，导师要问的，没办法，有些地方看不懂就上网查一下思想，实在不懂先标记着跳过去，以后再细细咀嚼，现在刚入学，读到第3章了，要是说完全明白自然是不现实，不过大部分思想还是明白了。你的建议我会铭记于心的，赶上老师的进度之后，我再返回来细细地看看MIT这本书，但凡是弗登博格的书证明的东西都不太好读，也许翻译的有些出入吧，还是读原版的比较好，现在是万不得已了！