Richard Durrett 第四版概率论，Draft。
Probability: Theory and Examples 4th Edition by Richard Durrett
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以下是部分目录。
Contents
1 Laws of Large Numbers 1
1.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Expected Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Integration to the Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Computing Expected Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Sufficient Conditions for Independence . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2 Independence, Distribution, and Expectation . . . . . . . . . . 21
1.4.3 Sums of Independent Random Variables . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.4 Constructing Independent Random Variables . . . . . . . . . . 25
1.5 Weak Laws of Large Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5.1 L2 Weak Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5.2 Triangular Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.3 Truncation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6 Borel-Cantelli Lemmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.7 Strong Law of Large Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.8 Convergence of Random Series* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.9 Large Deviations* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2 Central Limit Theorems 63
2.1 The De Moivre-Laplace Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2 Weak Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.2.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.2.2 Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3 Characteristic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.3.1 Definition, Inversion Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.3.2 Weak Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.3.3 Moments and Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.3.4 Polya’s Criterion* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.3.5 The Moment Problem* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.4 Central Limit Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.4.1 i.i.d. Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.4.2 Triangular Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.4.3 Prime Divisors (Erd¨os-Kac)* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.4.4 Rates of Convergence (Berry-Esseen)* . . . . . . . . . . . . . . 101
2.5 Local Limit Theorems* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.6 Poisson Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110