2）有效产出会计和线性规划

我们使用线性规划来求解这道题，可以使用上边的函数。为了和TOC制约理论中时间以及T/CU相对应，这里使用时间为自变量，并且设资源B用于生产M的时间为x，用于生产N的时间为y。那么生产M产品的个数为x/15个，每一个利润为45元，则M产品的利润为总数×利润，即x/15*45元。x/15*45也可以写成(45/15)x，其意义为每分钟利润×时间，也等于总利润，即和T/CU的意义相同。生产N产品的个数为y/30，每一个N产品的利润为60元，那么N产品的总利润为y/30*60元，也可以按照每分钟利润×时间的方式写成(60/30)y。B资源生产M和N产品的总时间不能超过2400分钟，即x+y≤2400。而A资源生产M产品需要15分钟，生产了x/15个，生产N产品需要10分钟，生产了y/30个，它们的总时间也不同超过2400，即x/15*15+ y/30*10≤2400，即x+y/3≤2400。同理得到资源C和资源D的约束为x+y/6≤2400。另外M产品的数量不能超过100个，即x/15≤100；N产品的数量不能超过50个，即y/30≤50。那么总利润为M产品总利润加上N产品总利润，然后减去运营费用，即f(x)=3x+2y-6000。得到的完整函数如下：

将5个约束条件画在以资源B生产M产品时间为x轴，以N产品时间为y轴的坐标系中，约束条件和坐标轴所构成的区域就是可行域，即M和N可以取值而不超过约束的区域，阴影部分就是可行域。将目标函数f(x)=3x+2y+k画入坐标系中，然后在图中做此直线的平行线，平行线可以相交可行域于e点和f点，由于e点在右上方，所以e点对应目标函数的最大值，此时x=1500，y=1500，最大值f(x)= 3×1500+2×900-6000=300，最大利润为300元。

图6-175 有效产出会计案例2的线性规划求解

我们通过线性规划来解释一下TOC有效产出会计的逻辑。

1）首先有效产出会计需要确定瓶颈，即通过计算获得。A资源生产100个M产品需要1500分钟，生产50个N产品需要500分钟，即对应坐标系中的a点，其坐标为(1500,500)。因为约束是2400分钟，而1500+500小于2400分钟，没有超过约束，这一点在图形中的解释是它的取值在可行域以内。B资源生产100个M产品需要1500分钟，生产50个N产品需要1500分钟，即对应坐标系中的b点，其坐标为(1500,1500)。因为约束是2400分钟，而1500+1500大于2400分钟，超过约束，这一点在图形中的解释是它的取值在可行域以外。同理得到资源C和D在坐标轴中的对应点c和d，它们的坐标均为(1500,250)，均在可行域之内。

2）计算哪种产品最赚钱，就优先生产哪种，采用T/CU的方式。M产品的优先产出是45，每个需时15分钟，T/CU=3；N产品的优先产出是60，每个需时30分钟，T/CU=2，所以优先生产M产品。在线性规划的函数中，总利润函数为f(x)=3x+2y-6000，x+y≤2400。因为x和y的都是时间，基准相同，当x和y竞争时，哪个系数大就应该优先生产哪个，才能总利润最大此函数是一个单调函数。也可以这样理解，因为b点在约束函数x+y≤2400右上方，那么它在可行域之外，所以只有当x+y=2400，f(x)才能得到最大值，将y=2400-x带入f(x)，得到f(x)=3x+2(2400-x)-6000=x-1200，当x取最大值时，函数才能得到最大值300。

3）可行域会和f(x)=3x+2y+k这条直线有多个交点，而确定哪一个资源为瓶颈的意义就是在哪个x和y的哪个边界上，交点所对应的函数值最大。在f(x)=3x+2y-6000的函数中，我们知道x的系数大于y的系数，且x+y≤t中的限制系数均为1，对应的b点在约束之外，那么就应该优先生产x，即3x+2y+k的平行线从x/15≤100对应的直线向上滑，直到边界点e，得到函数的最大值。

假设生产两种产品为M和N。生产一个M产品的时间为CU1，单个产品利润，即有效产出为T1，t时间内需求数量为m；生产一个N产品的时间为CU2，单个产品利润，即有效产出为T2，t时间内需求数量为n；运营费用为OE。那么总利润最大为多少？然后就可以得到如下的函数，包括时间约束和数量约束，其中a，b，c和d为常数。

有效产出会计的本质是线性规划，目标函数对应利润NP，而自变量的和对应有效产出T，比如45*x+60*y对应有效产出T，常数对应运营费用OE，这个例子中6000对应于OE。

在这道例题中，瓶颈在工厂内部，即工厂的产出小于市场需求。而当瓶颈在工厂外部，即瓶颈在市场，工厂产出能力大于市场需求时，也可以使用上边的函数进行计算，比如M和N产品每周的需求量都是50，那么也可以求出最大利润。

三） 有效产出会计的决策优化

在现实中会有很多提案，那么有没有通用的标准来衡量一个提案是否应该被选择呢？

我们以案例1进行各种提案的分析。其内容为假设某工厂的资源有A、B各一种。每周工作5天，每天工作8小时，即每周可用工时为2400分钟。运营费用为每周6000元。工厂生产M和N这2种产品，M产品每件售价90元，每周市场需求100件；N产品每件收件100元，每周市场需求50件。生产一个M资源A需要20分钟，资源B需要15分钟。生产一个N产品资源A需要3分钟，资源B需要30分钟。什么样的生产组合可以是公司利润最大化？

表6-32 有效产出会计案例2数据分析

提案1：有人提案建议投资1000元购买新的资源A，使资源A的产能提高1倍。那么这个提案是否应该被采纳呢？

解答：资源B是瓶颈，提高资源A，有效产出T不会增加，那么ΔT=0。而投资增加了1000元，所以ΔI=1000。而购买了新的设备，那么折旧费用会增加，即运营费用会增加，假设年折旧率为10%，那么每年折旧费用就是1000×10%=100元，每年有52周，每周折旧费用就是100/52=1.92元，所以ΔOE=1.92。那么利润增加量为ΔNP=ΔT-ΔOE=0-1.92=-1.92，而投资回报ROI则为负数，所以此方案不能被采纳。

提案2：有人提案建议投资10000元优化原资源B，使资源B的产能提高20%倍。那么这个提案是否应该被采纳呢？

解答：资源B是瓶颈，提高资源B的产能方法是正确的，需要确认的看是否盈利。因为采取的是优化资源B而花费10000，所以投资增量ΔI=10000。而没有增加新的设备等，所以运营费用不变，运营费用增量ΔOE=0。资源B的产能增加20%，相当于B的可用时间增加20%，即为2400×1.2=2880分。生产100个M需要100×15=1500分，剩余2880-1500=1380分，可以生产1380/30=46个N产品。那么利润为NP=100×45+60×46-6000=1260元。而没有增加产能时的利润是300元，利润增量ΔNP=1260-300=960元。而这个投资提案一年的投资回报率ROI=ΔNP/ΔI×52=960/10000×52=499.2%，是一个回报率非常高的投资，应该采纳此提案。

提案3：有人提案建议资源A来分担资源B的部分工作，资源B的产能可以提高10%，但是资源A的产能要下降15%。那么这个提案是否应该采纳呢？

解答：资源B的产能提高，相当于资源B的可用时间变为2400×1.1=2640分钟。资源A的产能下降20%，相当于资源A的可用时间变为2400×0.80=1920分钟。生产100个M产品和50个N产品，资源B需要100×15+50×30=3000分钟，资源B的使用率为3000/2640=114%。生产100个M产品和50个N产品，资源A需要100×20+50×3=2150分钟，资源B的使用率为2150/1920=112%。资源B的使用率大于资源A，那么资源B还是瓶颈。瓶颈B的产能提高，那么有效产出就增加了，即ΔT>0。而投资和运营费用没有改变，则ΔOE=0，ΔI=0。利润ΔNP=ΔT-ΔOE>0，净利润增加，所以应该采纳这个提案。

在现实中，会有各种各样的提案来优化工厂，那么是否有一个通用的判定标准来迅速判断任意一个提案是否应该被采纳呢？

我们选择投资回报率ROI作为衡量的标准。其评判标准为：当提案的投资回报率ROI大于等于当前的ROI时，那么这个提案可以被选择，如果提案的ROI小于当前的ROI，那么提案应该被否决。也可以进一步简化，不计算当前的ROI，而是队投资回报率设定一个下限，比如30%，当新投资的回报率大于这个值，那么这个投资就可以被采纳。

图6-176 有效产出会计的系统控制图

提案导致有效产出增加量为ΔT，运营费用的增量为ΔOE，投资的增量为ΔI，这三个增量可以是正数，负数或者0。将增量带入新的ROI公式，并且使其大于等于原ROI，得到：

从逻辑上讲，只有(ΔT-ΔOE)/ΔI这一个标准就够了，比如当其大于要求的最小投资回报率k时，那么这个投资就是合理的。而在ΔI=0时，也是可以从逻辑上使用(ΔT-ΔOE)/ΔI这个标准的，因为当(ΔT-ΔOE)>0，那么(ΔT-ΔOE)/ΔI=∞>k，这个投资合理。而当(ΔT-ΔOE)<0，那么(ΔT-ΔOE)/ΔI=-∞<k，这个投资不合理。很多时候并不需要计算准确的ROI的值，比如当投资增量为正数值，即ΔI>0时，如果(ΔT-ΔOE)<0，那么就可以确定提案不合理了。

《可以量化的管理学》全书结构

摘自《可以量化的管理学》