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简介如下：
Preface xi
0 Introduction 1
0.1 Indeterminacy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.2 Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.3 Belief Degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1 Uncertain Measure 11
1.1 Measurable Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Uncertain Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Uncertainty Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Product Uncertain Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Polyrectangular Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7 Conditional Uncertain Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Uncertain Variable 31
2.1 Uncertain Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Uncertainty Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4 Operational Law: Inverse Distribution . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Operational Law: Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.6 Operational Law: Boolean System . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.7 Expected Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.8 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.9 Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.10 Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.11 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.12 Conditional Uncertainty Distribution . . . . . . . . . . . . . . 89
2.13 Uncertain Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.14 Uncertain Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
vi Contents
2.15 Uncertain Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.16 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3 Uncertain Programming 105
3.1 Uncertain Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2 Numerical Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3 Machine Scheduling Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.4 Vehicle Routing Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.5 Project Scheduling Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.6 Uncertain Multiobjective Programming . . . . . . . . . . . . 121
3.7 Uncertain Goal Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.8 Uncertain Multilevel Programming . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.9 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4 Uncertain Risk Analysis 125
4.1 Loss Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2 Risk Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.3 Series System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.4 Parallel System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.5 k-out-of-n System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.6 Standby System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.7 Structural Risk Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.8 Investment Risk Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.9 Value-at-Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.10 Expected Loss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.11 Hazard Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.12 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5 Uncertain Reliability Analysis 139
5.1 Structure Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2 Reliability Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.3 Series System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.4 Parallel System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.5 k-out-of-n System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.6 General System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.7 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6 Uncertain Propositional Logic 145
6.1 Uncertain Proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.2 Truth Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.3 Chen-Ralescu Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.4 Boolean System Calculator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.5 Uncertain Predicate Logic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.6 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Contents vii
7 Uncertain Entailment 157
7.1 Uncertain Entailment Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.2 Uncertain Modus Ponens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.3 Uncertain Modus Tollens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.4 Uncertain Hypothetical Syllogism . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.5 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8 Uncertain Set 165
8.1 Uncertain Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.2 Membership Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.3 Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.4 Set Operational Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.5 Arithmetic Operational Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.6 Expected Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.7 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.8 Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.9 Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.10 Conditional Membership Function . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.11 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9 Uncertain Logic 207
9.1 Individual Feature Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.2 Uncertain Quantier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.3 Uncertain Subject . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.4 Uncertain Predicate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.5 Uncertain Proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
9.6 Truth Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.7 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
9.8 Linguistic Summarizer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.9 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
10 Uncertain Inference 233
10.1 Uncertain Inference Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
10.2 Uncertain System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
10.3 Uncertain Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
10.4 Inverted Pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
10.5 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
11 Uncertain Process 245
11.1 Uncertain Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
11.2 Uncertainty Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
11.3 Independence and Operational Law . . . . . . . . . . . . . . . 250
11.4 Independent Increment Process . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
11.5 Extreme Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
11.6 First Hitting Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
viii Contents
11.7 Time Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
11.8 Stationary Increment Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
11.9 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
12 Uncertain Renewal Process 267
12.1 Uncertain Renewal Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
12.2 Block Replacement Policy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
12.3 Renewal Reward Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
12.4 Uncertain Insurance Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
12.5 Age Replacement Policy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
12.6 Alternating Renewal Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
12.7 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
13 Uncertain Calculus 287
13.1 Liu Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
13.2 Liu Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
13.3 Fundamental Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
13.4 Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
13.5 Change of Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
13.6 Integration by Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
13.7 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
14 Uncertain Dierential Equation 303
14.1 Uncertain Dierential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
14.2 Analytic Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
14.3 Existence and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
14.4 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
14.5 -Path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
14.6 Yao-Chen Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
14.7 Numerical Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
14.8 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
15 Uncertain Finance 331
15.1 Uncertain Stock Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
15.2 Uncertain Interest Rate Model . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
15.3 Uncertain Currency Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
15.4 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
16 Uncertain Statistics 355
16.1 Expert's Experimental Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
16.2 Questionnaire Survey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
16.3 Determining Uncertainty Distribution . . . . . . . . . . . . . 357
16.4 Determining Membership Function . . . . . . . . . . . . . . . 363
16.5 Uncertain Regression Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
16.6 Uncertain Time Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
Contents ix
16.7 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
A Probability Theory 371
A.1 Probability Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
A.2 Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
A.3 Probability Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
A.4 Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
A.5 Operational Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
A.6 Expected Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
A.7 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
A.8 Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
A.9 Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
A.10 Random Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
A.11 Law of Large Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
A.12 Conditional Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
A.13 Random Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
A.14 Stochastic Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
A.15 Stochastic Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
A.16 Stochastic Dierential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
B Chance Theory 417
B.1 Chance Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
B.2 Uncertain Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
B.3 Chance Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
B.4 Operational Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
B.5 Expected Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
B.6 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
B.7 Law of Large Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
B.8 Uncertain Random Programming . . . . . . . . . . . . . . . . 440
B.9 Uncertain Random Risk Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . 443
B.10 Uncertain Random Reliability Analysis . . . . . . . . . . . . . 447
B.11 Uncertain Random Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
B.12 Uncertain Random Network . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
B.13 Uncertain Random Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
B.14 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
C Frequently Asked Questions 469
C.1 What is the meaning that an object follows the laws of probability
theory? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
C.2 Why does frequency follow the laws of probability theory? . . 470
C.3 Why is probability theory unable to model belief degree? . . 471
C.4 Why should belief degree be understood as an oddsmaker's
betting ratio rather than a fair one? . . . . . . . . . . . . . . 473
C.5 Why does belief degree follow the laws of uncertainty theory? 474
x Contents
C.6 What is the dierence between probability theory and uncertainty
theory? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
C.7 What goes wrong with Cox's theorem? . . . . . . . . . . . . . 475
C.8 What is the dierence between uncertainty theory and possibility
theory? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
C.9 Why is fuzzy variable unable to model indeterminate quantity? 476
C.10 What is the dierence between uncertain set theory and fuzzy
set theory? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
C.11 Why do I think fuzzy set theory is bad mathematics? . . . . 479
C.12 Does the stock price follow stochastic dierential equation or
uncertain dierential equation? . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
C.13 How did \uncertainty" evolve over the past 100 years? . . . . 484
Bibliography 487
List of Frequently Used Symbols 497
Index 498