以简单的投资学思维逆向求解数学方程问题

                              于德浩

                            2018.3.18

近代科学的发展，人们形成了一种科学逻辑，即把具体的物理问题转换成抽象的数学问题，然后通过求解简单的数学方程，从而解决实际的具体的物理问题。可是，有时候人们发现，有些抽象的数学方程求解非常复杂，反而将之具体形象化为一个物理过程，往往会很容易得到其中一组特解，有时候也能把复杂数学方程的通解，给巧妙的理出来。

在大学物理，有一门课叫《数学物理方法》，就是一些特殊的复杂的数学方程的求解技巧，把方程式逆向思维成某种物理学过程。

在投资学中，也会遇到同样的问题。人们说，经济学、投资学复杂，就是指的，按照原来的科学思路，我们把具体的经济学问题，写成抽象的数学方程。但是，但是啊，人们却求解不出来。

现在，我们不妨借用《数学物理方法》，换一个思路，看看那些复杂的数学方程，是不是用简单的投资学过程就能给求解出来。

比如，求解一元六次方程，

   100*x^6-5*x-5*x^2-5*x^3-5*x^4-5*x^5-105=0；

显然，要硬解这个方程，肯定是解不出来的。约200年前，著名的青年数学家阿贝尔就证明五次及以上的一般代数方程是没有解析解的。如果，我们只想找一个x>1的特解，应该从何下手呢？ 如果一个人经常做投资的复利计算，他可能一下就会给出一个完美的特解，x=1.05。 神奇吧？

    投资人经常会遇到求解平均年化收益率的问题。比方说，一张面值100元的国债，每年发放利息5元。如果投资者每年都利息再投资，那么6年后，他的平均年化收益率是多少呢？

这个方程就是这么列的，

100*(1+r)^6=105+5*(1+r)^5+5*(1+r)^4+5*(1+r)^3+5*(1+r)^2+5*(1+r)；

方程左边项，就是指6年后的总收入情况；方程右边第一项就是6年后的本息总和105元；右边第二项就是，第一年的利息5元再投资后的期末收益；右边第三项就是指第二年的利息再投资后的期末收益；……右边最后一项就是指最近一年的利息的再投资。

如果，做变量代换，x=1+r，并且把右边项移到左边，那么就变成了上文提到的一元六次方程。

再看另外一个复杂的3元3次方程，求解一组大于1的特解。

6/x+9/(x*y)+119/(x*y*z)-100=0；

     从简单的投资学思维来看，{1.06,1.09,1.19}就是{x,y,z}的一组特解。

这实际就是一个股票每年分红现金流折现问题。比方说，股票价格100元，第一年分红6元，第二年分红9元，第三年分红19元，这就是股息率的现金流折现，

         100=6/(1+r1)+9/[(1+r1)(1+r2)]+119/[(1+r1)(1+r2)(1+r3)]；

一目了然。等式的左边就是股票的现值；方程右边的第一项是第一年的分红6元的折现；第二项是第二年分红9元的折现，右边最后一项是第三年分红19元及本金100元的贴现。

在投资学中，如果对于经济学过程的理解不同，所列出的数学方程的最初形式也是不同的。比方说，一张债券面值100元，每年支付利息6元。如果利息再投资，两年后，平均年化收益率（也就是年复利）是多少？

第一种最简单的算术理解，都不用列数学方程。既然投入本金是100元，每年支付利息6元，那么年化收益率自然就是6/100=6%了。

第二种理解就是利滚利的形象过程。第一年，利息有6元；第二年利滚利；第二年的本息给付是106元。所以，可以列如下方程，

100*(1+r)^2=6*(1+r)+106； 解得，年化收益率复利r=6%。

第三种理解，就是现金流贴现模型。这与上文的股息率折现是一样的。

100=6/(1+r)+106/(1+r)^2； 解得，r=6%。

显然，第二种理解与第三种理解，最初的方程形式是不一样的，但整理后都一样，可谓殊途同归。值得一提的是，其实这个方程还有一个负数解，就是r=-2。

一般的初中代数，就会把-2当成是一个增根，不合题意舍去。其实，从真实的投资经济学过程来看，r=-2，及收益率是-200%，是有意义的。这就对应着负债经营的亏损。

比方说，自有资本100万元，经营不善，第一年亏损欠债200万元，使得净资产一年后变为-100万元；但是第二年，扭亏为盈，大幅盈利200万元，最后总资产又变为-100-（-200）=100万元。

从数学上看，这似乎只是一个100-200+200-200+200-……的数字循环。但是，在现实的商业过程中，负增长（亏损）是有“前车之鉴”的巨大作用的。这就是试错，或者说“败不馁胜不骄”。

比方说，我有1000万元，先拿出100万元启动一个新的项目。折腾一年，亏损200万；没问题，亡羊补牢，再接再厉。再投100万，大体路子基本都熟了，第二年就会赚回200万。

当然，如果因为一时胜利而骄傲自满，那么第三年就又可能亏损200万元，那个数学方程的-2增根又发挥作用了。所以说，经商投资就是一个不断试错的过程，绝对不能因为一次投资失败而沮丧，或者因为一次投资成功而自大。