本章概要说明整体计算机的发展现况，包括CPU发展的瓶颈，多核技术在绘图卡上的蓬勃发展，金融业使用并行计算的现况，以及平行运算在产品开发上的使用方式。我们也简单回顾市场上GPU的主流开发架构，并以一个简单的例子说明平行运算的效益。最后说明本书的内容架构以及预期达成的目标。

第一节 计算机计算的发展与金融计算的要求

图一 1971-2011微处理器晶体管数目与摩尔定律

在1965年时，Gordon Earle Moore发表了他著名的摩尔定律，指出同一体积的集成电路(Integrated Circuit, IC)上的组件(主要是晶体管)数目，大约每两年增加一倍。由于IC的计算能力，大体上可以用晶体管的数量来代表，这意味着计算能力只要两年就可以翻倍。也就是说，经过20年下来，IC上的组件数目可以有2的10次方成长，经过40年则可以提高100万倍之多。这提供给我们在计算能力上，大幅度的提升。图一是维基百科上1971年到2011年微处理器上晶体管数量的成长趋势图，大致上也呼应摩尔定律的观点。

现代的财务理论始于1950年代，由Markowitz所提出的投资组合理论(Portfolio Theory)，与Treynor、Sharpe、Linter和Mossin进一步的发展所提出的资本资产订价理论(CAPM,Capital Asset Pricing Model)，成为财务中研究证券资产价格与风险的数量模型。在这些理论中，基本上是使用随机变量的平均数(Mean)与变异数(Variance)去表达证券的报酬与风险，这种数量上的进展，大幅地提升财务的定量研究。

然而，在1950年代中，还有一个重要的理论发展，对目前财务数量模型有着巨大影响的，那便是由Miller与Modigliani所提出的无套利假说(Arbitriage Free Hypothesis)。此假说主张在均衡的市场情况下，套利组合是不存在的。此一主张对衍生商品的订价模型，有着主导性的角色。

1970年代可说是金融工程的起始时段，这是由于Black、Scholes与Merton(BSM)提出了著名的选择权订价理论(Option Pricing Theory)。事实上，早在1900年便有学者提出了选择订价公式，然而该公式并没有被实务工作者所采用。BSM的模型之所以广为市场所接受，在于其理论假设的合理性，与实务操作上的可行性。BSM应用无套利假说，将选择权与标的股票形成无套利组合，利用此均衡条件，设定此组合的应有报酬为无风险报酬。BSM另一个重要的突破，在于对股票价格行为的假设上，选择了一个相当良好的随机过程(Stochastic Process)─几何布朗运动型式(Geometrical Brownian Motion)，配合随机积分(Stochastic Integral)的Ito’s Lemma，得到选择权价格的偏微分方程式。

这些财务理论与实务的进展，都需要大量的数据计算能力。可以这么说，过去40年来的金融创新，也都伴随着计算机计算能力的大幅成长，相辅相成地创造了今日金融产业的蓬勃发展。然而，好景不再，今日摩尔定律似乎也遇到瓶颈，一方面制程技术面临微小结构制造上的困难；另一方面，中央处理器(CPU,Central Processing Unit)的散热问题越来越严重。因此，传统使用单一运算核心(Single Core)之处理器的生产模式，遭遇到严重的挑战。

A. P.Chandrakasan等人在他们的文章“Optimizing Power Using Transformations”(注一)中提出，使用双核心(DualCores)的微处理器，可以在相同的计算能力下，减少能量消耗的60%。这一观点促使微处理器转向多核心架构的发展，低频率运行的多核微处理器在功率效能上，有更好的表现。然而，这也给软件产业带来一个全新的挑战，亦即，传统单核的程序撰写模式要转向到多核的程序开发，才能继续享有高速成长的计算机运算能量。

第二节 显示适配器计算能力的跃升

在过去的发展历史上，对于大部分的计算机而言，显示适配器(Display Card)已是个不可获缺的配件。显示适配器的功能一直被定位为辅助CPU来处理计算机上相关图形与影像方面的计算工作。早先显示适配器上的图形处理器(Graphics Processing Unit, GPU)中的运算核心的数目不多，约为2至16个。但近年来，随着制程技术的改良，一方面GPU的运算频率提升，另一方面GPU运算核心的数目大举上升到256至512个。这使得显示适配器每秒所能处理的浮点运算数目跟着明显地提升。

图二(注二)中可以看到，NVIDIA公司所生产的GPU显示适配器，在2003年G80系列之后的单精准度浮点运算的理论值，就开始大幅领先Intel的CPU了，之后逐年扩大领先差距。至于在双精准度浮点运算方面，在NVIDIA推出Tesla系列后，GPU的运算能力也优于CPU的双精准度浮点运算效能。

图二 2001-2014 Intel CPU与NVIDIA GPU理论浮点计算能力

除此之外，显示适配器上的内存容量也达到1至2GB，而且，显示适配器的内存存取带宽也不断在成长。NVIDIA的GeforceGTX 480显示适配器内存存取带宽以达到每秒180GB，明显优于Intel CPU。显示适配器上内存容量的增加以及内存存取带宽的提升，使得涉及大量数据存取的应用，可获得更高的计算效能提升。

图三 2003-2013Intel CPU与NVIDIA GPU理论资料存取带宽

第三节 平行运算与超级计算机在金融界的运用情况

由于前述的理由，根据NVIDIA公司的数据，在2012年Top500超级计算机中，使用GPU (Graphic Processing Unit)以加速运算之计算机以有52台，比重已超过10%。图四(注三)中可以看到在2007~2012中，此一数目呈现快速的增长。

图四 超级计算机使用GPU的成长趋势

另外，在Top50中则有7台超级计算机是以GPU来加速计算。

图五 超级计算机使用GPU的情况

在2013年的Top500超级计算机中，结合CPU与GPU的异质架构已成为市场的主流趋势。在前10名的超级计算机中有两台使用IntelXeon Phi多核协同处理器，包括第一名的中国大陆天河二号，两台使用NVIDIA的GPU来加数运算，包括第十名的中国大陆天河一号A型。

根据牛津大学Mike Giles教授在2013年所做的调查(注四)，在所有Top500的超级计算机中，有10%是用于金融计算之上。主要分别用于投资银行与避险基金的业务上。

在投资银行内，计算的重点在于各种选择权订价模型的应用。其中，主要的应用为蒙地卡罗模拟法，占了60%的计算量；PDE与有限差分法次之，约占30%的计算量；其他半解析法最少，约占10%的计算量。这是由于近年来金融产品的创新很多都是将权利条件，加到原有的金融商品之上，也因此产生截然不同的偿付型式。以最近在台湾市场销售的主流结构产品，都是内嵌权利条件的金融商品。至于在避险基金内，则主要使用于高频算法的程序交易之中。

根据NVIDIA的数据(注五)，BNP Paribas(法国巴黎银行)使用Tesla GPU进行衍生性金融商品的定价；Bloomberg采用GPU以加速债券定价，J.P.Morgan 的权益衍生性商品部门在 2010 年挑选了 Tesla M2070 GPU 与其全球运算架构结合。另外，各商用软件竞相采用GPU作为计算强化方式，下表摘要专攻计量财务之独立软件开发商(ISV)及采用CUDA的应用程序。

表一：计量财务之独立软件开发商(ISV)及其采用CUDA的应用程序

独立软件供货商(ISV)	说明
Murex	风险分析(MACS)
MATLAB®	数据平行数学 (MATLAB PCT, MDCS)
Wolfram Mathematica	符号运算分析(Mathematica)
Streambase	复合事件处理 (Stream Base CEP Engine)
Risk Management Solutions	巨灾保险分析
Hanweck Associates	选择权定价(Volera)
SciComp, Inc	衍生性商品定价 (SciFinance)
Xcelerit	C++ 专用 GPU SDK，针对 Monte  Carlo 和其他数值方法。

第四节 产品开发对金融计算的要求

金融市场是一个充满随机性的地方，自从BSM模型被提出之后，随机过程被用于各个金融变量之上，不论是汇率、股价、利率、商品价格，甚至信用价差，都是以适当的随机过程，进入到财务模型之中。透过金融市场的均衡条件，我们便会求得这些金融变量的随机微分方程(Stochastic Differential Equation)。这一方法以成为目前金融产品开发时，计算其价格与风险的标准程序。

随机微分方程一般化的求解方式，可以使用测度转换的方法求得。在特定条件下，少数的随机微分方程可以有解析解，如阳春型选择权。但是，就如目前市场上销售的外汇结构产品Target Redemption Notes，大部分由于偿付条件过于复杂，且是路径相关的条件，因此无法求得简单的解析解。此时我们只有利用蒙地卡罗模拟法配合测度转换的理论，使用大数法则来计算这些产品的价格与风险。

在蒙地卡罗模拟法中，我们进行大量的模拟，每一次的模拟就是一个可能的情境路径(Scenario Path)。实务上，10万条的仿真路径是一般的要求，但这只是计算一个价格。通常我们还需要计算Delta、Gamma与Vega等参数，以做为避险的规划与涉险值的估算。由于没有解析解，因此需要使用差分来求的这些数值。保守估计，一个产品需要计算四个仿真价格，也就是40万条的仿真路径。如果在每条的情境路径上，每天走一步，产品为一年到期，则每一产品我们一共需要产生约1.5亿个模拟随机数(365╳400,000=145,600,000)来执行相关计算。

上述情况在金融计算上并非特例，在一些利率类的结构产品上，情况更为严苛。这是因为在外汇产品上，通常只需要模拟一个汇率因子。而在利率类的结构产品上，可能同时要模拟20个利率因子。至于整体公司部位的风险值计算，那就又是另外一种各加严苛的情况，以现今大型银行的资产组合规模而言，计算能量的要求只有更多了。

然而，多核的硬件结构却是当今金融计算的一个解药。传统个人计算机只有一个计算核心的CPU，因此，同时只有一个程序(Process)在执行。当CPU中的计算核心数目增加后，我们可以使用多线程(Multi-Threads)的方式，增加计算能力。也就是说在一个主程序执行后，我们可以将主程序展开程多条的线程，分别使用每一个计算核去执行各自的工作，最后再合并到主程序来结束。

然而，这样的做法前提是这些展开的线程彼此的工作有一定的独立性，可以各自工作，到最后才需整并合一，否则这样的计算流程变没有办法提升计算效率。对于前述的蒙地卡罗模拟法，就刚好满足此一要求。因为每一次的情境路径仿真，都是各自独立执行的，这可说是王八看绿豆，对上眼了。

然而，即使可以在CPU内增加计算核(Core)的数量，但是目前CPU最多也只有8个计算核(AMD)，似乎缓不济急。自然而然，就会想到GPU上大量的计算核心，是否可以成为可用的方案。这里要说明一点，CPU上的核是通用型的，除了数值运算还有逻辑运算，因此无法像GPU上的专用型核，可以制造那么多的核。

NAVIA公司于2007年正式发布其泛用GPU(General Purpose GPU)架构，计算统一装置架构(Computer Unified Device Architecture, CUDA)。在此架构下，程序员可以使用一般的C语言，撰写执行于GPU上的程序，充分利用GPU多核特性的平行运算程序。自此，摩尔定律的计算红利，又可以为金融界所共享。