数学物理方法

上海交通大学数学系编,

2011



前言
目录
第1篇 复变函数
第1章 复数和复变函数
1.1 复数及其表示
1.1.1 复数的定义
1.1.2 复数的表示
1.2 复数的运算及其几何意义
1.2.1 复数的四则运算
1.2.2 复数的乘方和方根
1.2.3 共轭复数及其性质
1.2.4 曲线的复数方程
1.3 平面点集和区域
1.3.1 复平面上的点集
1.3.2 区域与简单曲线
1.4 复变函数
1.4.1 复变函数的概念
1.4.2 曲线在映射下的像
1.5 复球面与无穷远点
1.5.1 复球面
1.5.2 扩充复平面上的几个概念
习题1
第2章 解析函数
2.1 复变函数的极限和连续
2.1.1 复变函数的极限
2.1.2 复变函数的连续性
2.2 解析函数的概念
2.2.1 复变函数的导数
2.2.2 解析函数的概念
2.3 函数解析的充要条件
2.4 解析函数的物理意义
2.4.1 调和函数
2.4.2 解析函数与调和函数的关系
2.4.3 正交曲线族
2.5 初等解析函数
2.5.1 指数函数
2.5.2 对数函数
2.5.3 幂函数
2.5.4 三角函数
2.5.5 反三角函数与反双曲函数
习题2
第3章 复变函数的积分
3.1 复变函数的积分
3.1.1 复变函数积分的概念
3.1.2 积分的存在性及其计算公式
3.1.3 积分的基本性质
3.2 柯西定理
3.2.1 柯西定理的表述与推论
3.2.2 原函数与不定积分
3.2.3 柯西定理的推广
3.3 柯西积分公式
3.4 解析函数的高阶导数
3.4.1 解析函数的重要性质
3.4.2 柯西不等式
3.4.3 解析函数的等价概念
习题3
第4章 解析函数的级数展开
4.1 复数项级数与复函数项级数
4.1.1 数列的极限
4.1.2 复数项级数
4.1.3 复函数项级数
4.2 幂级数
4.2.1 幂级数的概念
4.2.2 收敛圆与收敛半径
4.2.3 幂级数的运算和性质
4.3 泰勒级数
4.3.1 解析函数的泰勒展开式
4.3.2 初等函数的泰勒展开式
4.4 罗朗级数
4.5 孤立奇点
4.5.1 可去奇点
4.5.2 极点
4.5.3 本性奇点
4.5.4 函数在无穷远点的性态
习题4
第5章 留数及其应用
5.1 留数的概念与计算
5.1.1 留数的概念及留数定理
5.1.2 留数的计算
5.1.3 在无穷远点的留数
5.2 留数在定积分计算中的应用
5.2.1 计算？R(cos x,sin x)dx型积分
5.2.2计算？P(x)/Q(x)dx型积分
5.2.3 计算？f(x)eiλxdx型积分
5.3 对数留数与辐角原理
5.3.1 对数留数
5.3.2 辐角原理
5.3.3 儒歇定理
习题5
第6章 保角映射
6.1 保角映射的概念
6.1.1 导数的几何意义
6.1.2 保角映射的概念
6.2 分式线性映射
6.2.1 分式线性映射
6.2.2 分式线性映射的性质
6.2.3 3类典型的分式线性映射
6.3 几个初等函数所构成的映射
6.3.1 幂函数与根式函数
6.3.2 指数函数与对数函数
6.3.3 儒可夫斯基函数
习题6
第2篇 数学物理方程
第7章 数学物理方程的导出及定解问题
7.1 数学物理方程的导出
7.1.1 波动方程的导出
7.1.2 热传导方程的导出
7.1.3 拉普拉斯方程的导出
7.2 数学物理方程的定解条件
7.2.1 初始条件
7.2.2 边界条件
7.3 数学物理方程的定解问题
7.4 线性偏微分方程的叠加原理与齐次化原理
7.4.1 线性偏微分方程的叠加原理
7.4.2 齐次化原理
习题7
第8章 求解数学物理方程的分离变量法
8.1 一维波动方程
8.1.1 第一类齐次边界条件
8.1.2 第二类齐次边界条件
8.1.3 解的物理意义
8.2 一维热传导方程
8.2.1 第一类齐次边界条件
8.2.2 第三类齐次边界条件
8.3 二维拉普拉斯方程
8.3.1 矩形区域
8.3.2 圆域
8.4 非齐次方程的解法
8.4.1 固有函数法
8.4.2 齐次化原理
8.5 非齐次边界条件的处理
习题8
第9章 数学物理方程的初值问题
9.1 一维波动方程
9.1.1 齐次方程的求解
9.1.2 半无限长弦的自由振动——反射波法
9.1.3 非齐次方程的求解
9.2 一维热传导方程
9.2.1 齐次方程的求解
9.2.2 半无限长细杆热传导问题的求解
9.2.3 非齐次方程的求解
9.3 三维波动方程
9.3.1 三维波动方程的球对称解
9.3.2 三维波动方程的泊松公式
9.3.3 泊松公式的物理意义
习题9
第3篇 积分变换
第10章 傅里叶变换
10.1 傅里叶积分公式
10.1.1 傅里叶级数
10.1.2 傅里叶积分公式
10.2 傅里叶变换
10.2.1 傅里叶变换的定义
10.2.2 余弦与正弦傅里叶变换
10.3 广义傅里叶变换
10.3.1 δ函数
10.3.2 δ函数的性质
10.3.3 基本函数的广义傅里叶变换
10.4 傅里叶变换与逆变换
10.4.1 傅里叶变换的基本性质
10.4.2 傅里叶变换的卷积与卷积定理
习题10
第11章 拉普拉斯变换
11.1 拉普拉斯变换的概念
11.1.1 拉普拉斯变换的存在性
11.1.2 常用函数的拉普拉斯变换
11.1.3 拉普拉斯变换的积分下限
11.2 拉普拉斯变换的性质
11.3 拉普拉斯逆变换
11.3.1 复反演积分公式
11.3.2 利用留数定理求像原函数
11.4 拉普拉斯变换的卷积与卷积定理
习题11
第12章 积分变换的应用
12.1 拉普拉斯变换解常微分方程定解问题
12.1.1 常微分方程初始值问题
12.1.2 常微分方程组的初始值问题
12.1.3 常微分方程的边值问题
12.1.4 积分微分方程定解问题
12.2 傅里叶变换解数学物理方程定解问题
12.2.1 一维弦振动问题
12.2.2 一维热传导问题
12.3 拉普拉斯变换解数学物理方程定解问题
12.3.1 一维弦振动问题
12.3.2 一维热传导问题
习题12
习题答案
习题1
习题2
习题3
习题4
习题5
习题6
习题7
习题8
习题9
习题10
习题11
习题12
附录
附录1 傅氏变换简表
附录2 拉氏变换简表