CFA二级量化方法重点分析：线性回归假设的违反，识别与处理

线性回归分析的有效性依赖于若干假设，这些假设包括：

（1）因变量与自变量间存在着线性关系；

（2）自变量不是随机变量，且不存在精确的（完全的）线性关系；

（3）给定自变量，误差项的条件期望为零；

（4）误差项的方差应为常数；

（5）误差项之间应相互独立；

（6）误差项是正态分布的。

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以上六个假设如果有一个或多个被违反，则线性回归分析的结果会有问题，最常见的三个问题是异方差性、序列相关与多重共线性。针对以上三个问题，我们需要明确：

（1）问题的含义是什么？

（2）它对回归分析的影响；

（3）如何识别这些问题？

（4）如何处理这些问题？

下面我们做一个系统的总结。

一、异方差性（heteroskedasticity）

含义：

误差项的方差不为常数，而是随着观察值的变化而变化，可以分为无条件异方差（unconditional heteroskedasticity）与条件异方差（conditional heteroskedasticity）。

无条件异方差指误差项的方差虽然随观察值的变化而变化，但是没有固定的规律，这虽然违反了线性回归的假设，但对回归分析结果不会有太大的影响。条件异方差则不同，误差项的方差会随着观察值的增大而增大或减小，从而对回归分析的结果会产生较大的影响。

影响：

（1）回归系数的标准误不能有效的估计；

（2）回归系数的估计不受影响；

（3）回归系数的T检验的结果会受影响，如果标准误被过大估计，则T统计量会过小，则容易导致错误地无法拒绝原假设；如果标准误被过小估计，则T统计量会过大，则容易导致错误地拒绝原假设；

（4）F检验的结果也是不可靠的。

识别：

（1）在一元回归中，可以观察值为横轴，残差为纵轴做散点图进行观察，如果发现残差随着观察值的增大或减少有显著变化，则可能存在异方差；（2）更常用的识别方法为Breusch-Pagan检验。

处理：

（1）使用稳健标准误（robust standard error）重新计算T统计量，根据新的统计值判断是否拒绝还是无法拒绝原假设；

（2）使用广义最小二乘回归。

二、序列相关（serial correlation）

含义：

序列相关也称自相关，是指误差项之间不是完全相互独立的，而是存在相关性。序列相关分为两种，一种得正序列相关，一种是负序列相关。正序列相关中，正的误差项之后有较大概率仍是一个正的误差项，在负序列相关中，正的误差项之后有较大概率是一个负的误差项。

影响：

正的序列相关使得残差项倾向于集聚，从而使得系数的标准误缩小，从而夸大了 T统计量，使得第一类错误的可能性上升，即在原假设成立时错误的拒绝它，这会使得我们错误的把不显著的结果当成显著的。但系数本身的估计仍是可靠的。

识别：

（1）在一元回归中与识别异方差的方法类似，可以观察值为横轴，残差为纵轴做散点图进行观察；

（2）DW 检验：如果 DW 统计量小于下临界值，则拒绝原假设，残差正序列相关。如果，则无法得出结论。如果DW统计量大于上临界值，则无法拒绝原假设。

处理：

（1）使用 Hansen-white标准误，对原来的标准误进行调整；

（2）进一步修正模型，将数据的时间序列性质纳入到模型中。

三、多重共线性（multicollinearity）

含义：两个或更多的自变量，或者自变量的线性组合高度相关。

影响：

（1）对系数的估计不可靠；

（2）过高的估计系数的标准误，从而导致低估T统计量，从而错误地无法拒绝原假设，从而错误的得出结论认为系数统计上不显著。

识别：

（1）如果模型的F检验与都表明模型显著，但T检验表明各个变量不显著，则很可能存在多重共线性；

（2） 如果只有两个自变量，它们的相关系数大于0.7，则很可能存在多重共线性，注意这条经验规律只在只有两个自变量的情况下成立。

处理：

（1）试着去掉一两个变量；

（2）使用逐步回归法（stepwise regression），逐渐减小多重共线性。

以下表格对比分析了三种违反线性回归假设情况的含义、影响、识别与处理方法：

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