R语言中的outer()函数，名为内积函数，但是他执行的功能并不是解析几何中的内积。那该函数到底发挥什么功能呢？
我们将分三个部分来探究该函数，其一是outer()函数的传入参数，其二是outer()函数的运算步骤，其三是拓展举例。
1.outer()函数的传入参数
函数格式：outer(x,y,paste或"operator")
1）x和y
x和y可以是向量(vextor)、矩阵(matrix)、数组(array)、数据框(frame)、列表(list)
注：a.此处向量均指列向量
    b.常用类型为数值型、字符型、逻辑型。
    c.相同类型的向量：v1<-c(1,2,3),v2<-c(4,5,6)，则v1和v2为相同类型的向量。而v1<-c(1,2,3),v2<-c("A","B","C")，则v1和v2为不同类型的向量。
      那么就存在数据结构：
      相同类型的向量->矩阵          不同类型的向量->数据框
      相同类型的矩阵->数组          不同类型的向量、矩阵、数据框、列表或者其中任意两个及以上的组合->列表

2）paste或"operator"
(1)paste表示打印计算结果中元素的组成结构，如：
> outer(1:2,3:5,paste)
     [,1]  [,2]  [,3]
[1,] "1 3" "1 4" "1 5"
[2,] "2 3" "2 4" "2 5"
我们先不考虑outer()函数是如何运算的。

(2)"operator"可以是运算符，包括"+"、"-"、"*"、"/"、"^"等等，需要用双引号引起来，如：
> outer(1:2,3:5,"*")
也即使用paste打印出来的组成元素两两相乘：
     [,1]  [,2]  [,3]
[1,] "1*3" "1*4" "1*5"
[2,] "2*3" "2*4" "2*5"
那么：
> d<-outer(1:2,3:5,"*")
> d
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    3    4    5
[2,]    6    8   10

2.outer()函数的运算步骤
outer()函数源码中有一句代码为：as.vector(X) %*% t(as.vector(Y))
就是说现将传入参数X和Y先转换成向量，其中Y转换成向量后还要对其进行转置。
注：a.此处向量均指列向量
    b.矩阵转换成向量时，先按行遍历矩阵的第一列，然后按行遍历矩阵的第二列，以此类推直到遍历完矩阵的所有元素。(从上到下，从左到右)
      如矩阵d：
          [,1] [,2] [,3]
     [1,]    3    4    5
     [2,]    6    8   10
     转换成向量为：(3,6,4,8,5,10)T
那么outer(1:2,3:5,"*")就在执行：
第一步：生成x和y向量
           _   _       _   _
        x=|  1  | y=  |  3  |  
          |_ 2 _|     |  4  |
                      |_ 5 _|

第二步：将y转换成向量，y本身就是向量，因而转换后形式不变。
第三步：将y转置，此时
   _   _
x=|  1  | yT=[3,4,5]
  |_ 2 _|

第四步：执行x %*% yT 运算(%*%运算与矩阵的乘法运算存在差异，一定不能搞混淆了)         
        先将x看成一个常数k，用k分别乘以yT中的每个元素，则得到向量[k*3,k*4,k*5]
        将k打开，得到矩阵结构：
           _               _
          |  1*3  1*4  1*5  |
          |_ 2*3  2*4  2*5 _|

        分别计算矩阵中每一个元素的乘积，得到：
           _          _
          |  3  4   5  |
          |_ 6  8  10 _|

3.拓展举例
我们在R软件的控制台中执行如下代码。
> d<-outer(1:2,3:5,"*")
> d
     [,1] [,2] [,3]
[1,]    3    4    5
[2,]    6    8   10
将得到d矩阵，那么在R软件的控制台中继续执行
> dd<-outer(d,d,"*")
> dd
将得到什么呢？
此时：
           _         _
        d=|  3  4  5  |
          |_ 6  8 10 _|

还是按上述步骤执行
第一步：输入两个d向量，则两个d向量分别为：
           _         _           _         _
        d=|  3  4  5  |       d=|  3  4  5  |
          |_ 6  8 10 _|         |_ 6  8 10 _|

第二和第三步：将第二个矩阵d转换成向量，并将其转置，得到
           _         _
        d=|  3  4  5  |       d'=[3,6,4,8,5,10]
          |_ 6  8 10 _|          位于原矩阵d的1行1列，

        其中d'=[3,6,4,8,5,10]，第一个元素3位于原矩阵(第二个矩阵d)的1行1列，记为(1,1)；第而个元素6位于原矩阵的2行1列，记为(2,1)；以此类推。

第四步：执行x %*% yT 运算
        先将第一个矩阵d看成一个常数k，用k分别乘以第二个向量d'中的每个元素得到[k*3,k*6,k*4,k*8,k*5,k*10]
        将k打开，得到矩阵结构：
          _                                                                                                         _
         |  _         _      _         _       _         _       _         _       _         _       _         _     |
         | |  3  4  5  |*3, |  3  4  5  |*6,  |  3  4  5  |*4,  |  3  4  5  |*8,  |  3  4  5  |*5,  |  3  4  5  |*10 |
         | |_ 6  8 10 _|    |_ 6  8 10 _|     |_ 6  8 10 _|     |_ 6  8 10 _|     |_ 6  8 10 _|     |_ 6  8 10 _|    |
         |_                                                                                                         _|
          3位于第二个矩阵d  6位于第二个矩阵d   4位于第二个矩阵d   8位于第二个矩阵d    5位于第二个矩阵d   10位于第二个矩阵d
         的1行1列记为(1,1)  的2行1列记为(2,1)  的1行2列记为(1,2)  的2行2列记为(2,2)   的1行3列记为(1,3)  的2行3列记为(2,3)

         然后将各元素乘进去得到：
          _                                                                                                         _
         |  _            _   _            _   _            _   _            _   _             _   _               _  |
         | | 3*3 4*3 5*3  |,| 3*6 4*6 5*6  |,| 3*4 4*4 5*4  |,| 3*8 4*8 5*8  |,| 3*5 4*5  5*5  |,| 3*10 4*10  5*10 | |
         | |_6*3 8*3 10*3_| |_6*6 8*6 10*6_| |_6*4 8*4 10*4_| |_6*8 8*8 10*8_| |_ 6*5 8*5 10*5_| |_6*10 8*10 10*10_| |
         |_                                                                                                         _|

由于第一个矩阵d为二维矩阵，且运算时将其看成一个常数，因而其维数被R语言省略掉了，控制台并没有显示其维数，只用",,"来表示。R控制台中执行：
> outer(d,d,paste)
, , 1, 1  对应第四步中的矩阵下标(1,1)

     [,1]  [,2]  [,3]  
[1,] "3 3" "4 3" "5 3"
[2,] "6 3" "8 3" "10 3"

, , 2, 1  对应第四步中的矩阵下标(2,1)

     [,1]  [,2]  [,3]  
[1,] "3 6" "4 6" "5 6"
[2,] "6 6" "8 6" "10 6"

, , 1, 2  对应第四步中的矩阵下标(1,2)

     [,1]  [,2]  [,3]  
[1,] "3 4" "4 4" "5 4"
[2,] "6 4" "8 4" "10 4"

, , 2, 2  对应第四步中的矩阵下标(2,2)

     [,1]  [,2]  [,3]  
[1,] "3 8" "4 8" "5 8"
[2,] "6 8" "8 8" "10 8"

, , 1, 3  对应第四步中的矩阵下标(1,3)

     [,1]  [,2]  [,3]  
[1,] "3 5" "4 5" "5 5"
[2,] "6 5" "8 5" "10 5"

, , 2, 3  对应第四步中的矩阵下标(2,3)

     [,1]   [,2]   [,3]   
[1,] "3 10" "4 10" "5 10"
[2,] "6 10" "8 10" "10 10"

因而R控制台中执行
> dd<-outer(d,d,"*")
> dd
, , 1, 1  对应第四步中的矩阵下标(1,1)

     [,1] [,2] [,3]
[1,]    9   12   15
[2,]   18   24   30

, , 2, 1  对应第四步中的矩阵下标(2,1)

     [,1] [,2] [,3]
[1,]   18   24   30
[2,]   36   48   60

, , 1, 2  对应第四步中的矩阵下标(1,2)

     [,1] [,2] [,3]
[1,]   12   16   20
[2,]   24   32   40

, , 2, 2  对应第四步中的矩阵下标(2,2)

     [,1] [,2] [,3]
[1,]   24   32   40
[2,]   48   64   80

, , 1, 3  对应第四步中的矩阵下标(1,3)

     [,1] [,2] [,3]
[1,]   15   20   25
[2,]   30   40   50

, , 2, 3  对应第四步中的矩阵下标(2,3)

     [,1] [,2] [,3]
[1,]   30   40   50
[2,]   60   80  100