几何布朗运动模型是现代金融学用来描述股票价格随时间演变过程的数学模型，著名的BS期权定价公式就是基于几何布朗运动模型推导出来的。但是，几何布朗运动模型在理论上存在严重的概念错误，且不能正确描述股票价格波动现象及规律，因此得出的结论与事实不符，将其广泛用于金融市场时，必然会给金融市场带来巨大的灾难。。

      虽然人们已从众多的金融市场案例分析中得出结论：BS期权定价公式是导致金融危机的罪魁祸首，但是迄今为止，由于数理金融学没有建立起能够正确描述股票价格波动现象及规律的数学模型，仍然将错误的几何布朗运动模型作为数理金融学教科书中的重要数学公式进行传授，导致人们对数理金融学产生强烈的质疑，畅销书《黑天鹅》作者纳西姆·塔勒布在《金融时报》上发表专栏文章，将其斥之为“破坏市场的伪科学”。

一、股票价格运动特征：

1、时间函数

      初中数学函数定义：一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

      观察股票价格随时间变化过程中，有股票价格s和时间t两个变量，对于每一个时间自变量t值，股票价格s都有唯一确定的值与t对应，因此股票价格s是时间t的函数，用s（t）表示。

      函数通常有三种表示方法：解析法、列表法和图像法。把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。股票分析软件中的收盘价曲线就是采用图像法来表示股票价格与时间之间的函数关系。

2、微观随机

      美国海军研究实验室的高能物理学家奥斯本（Osborne）观察到股票价格收益率（日）完全随机变化，1956年在《运筹学》杂志上发表了题为“股票市场上的布朗运动”论文，建立了几何布朗运动模型。2013年诺贝尔经济学奖获得者法玛（Fama）的实证研究结果表明，股票价格收益率（日）为零均值不相关白噪声，并因此提出了著名的EMH（Efficient Markets Hypothesis）有效市场假说。

3、宏观有序

      第一位获得诺贝尔经济学奖的美国经济学家萨缪尔森（Samuelson）早就观察到了对数股票价格运动中存在长期线性趋势这一实际现象。为解决奥斯本几何布朗运动模型中不存在线性趋势的问题，萨缪尔森1965年在奥斯本的几何布朗运动模型中强行增加了线性漂移项，建立了带漂移的几何布朗运动模型，也就是B-S期权定价公式使用的股票价格数学模型

二、几何布朗运动模型问题分析

      数理金融学教科书对几何布朗运动模型的定义：设S（t）为股票价格，若S（t）满足下面的随机微分方程，则称它遵循几何布朗运动：

\[\frac{dS(t)}{S(t)}= \mu dt+\sigma dW(t)        （1）\]                  

式中μ为股票价格收益率的数学期望，σ为股票价格的波动率，W（t）为服从N（0，1）的维纳过程，也称标准布朗运动。

      1、基本概念错误

      股票价格是时间的函数，但是几何布朗运动模型却将股票价格抽象为随机变量。

根据随机过程定义，随机过程{ X（ω，t），t∈T}是定义在ΩxT上的二元函数，简记为X（t）。对于固定的t∈T，X（t）是一个定义在样本空间Ω、自变量为ω的单值实函数，称为随机变量。对于固定的ω∈Ω，X（t）是一个定义在给定参数集T、自变量为t的单值实函数，称为样本函数或样本轨道。

      注意：随机变量X（t）不是时间t的函数！表1 给出了随机变量与样本函数的区别。

      表1 随机变量与样本函数区别

      在随机信号分析与处理技术领域，为了区分随机变量X（t）和样本函数X（t），通常用大写的X（t）表示随机变量，小写的x（t）表示样本函数。

      我们观察到的股票价格s（t）是时间t的函数，因此股票价格s（t）实质上是随机过程中的一个样本函数s（t），而非随机变量S（t）。

      2、与微观随机现象不符

      式（1）中的μ为股票价格收益率的数学期望，表明股票价格的短期收益率均值为常数，股票市场中存在着确定性的盈利机会，与现代金融学“股票价格短期收益率均值为零”的实证研究结果和有效市场假说不符。

三、几何布朗运动模型错误纠正

      将股票价格时间函数s（t）作为研究对象，将式（1）中的S（t）和W（t）分别用s（t）和w（t）替换，设y（t）=log s（t），令μ=0可得股票价格样本函数的微分

\[dy(t)=\sigma dw(t)           (2)\]

      根据维纳过程的定义，维纳过程的微分

\[dw(t)=\varepsilon (t)         (3)\]

式中ε（t）为服从N（0，1）正态分布的白噪声样本函数。

      将式（3）代入式（2），有

\[dy(t)=\sigma \varepsilon (t)     (4)\]

上式即为微分形式的股票价格几何布朗运动函数模型，与股票价格运动定律完全相同。

      由于白噪声过程为平稳随机过程，具备各态历经性，其随机变量的统计平均和样本函数的时间平均完全相同，因此，dy（t）的算术平均值为零，与股票价格短期对数收益率均值为零的实证研究结果一致。

      将式（4）的微分模型变换为积分模型，有

\[y(t)=\sigma \int_{0}^{t}  \varepsilon (t)dt     (5)\]

      显然，股票价格y（t）是对ε（t）的变限积分，几何布朗运动函数模型为非线性时变模型。

股票价格频域特性已证明， y（t）中存在一条与时间t成正比的趋势线，y（t）围绕趋势线上下波动，与实际股票对数价格中存在长期线性趋势这一现象完全相符。

参考文献：

高宏，股票价格几何布朗运动模型的理论错误及纠正[J]，时代金融，2019，4：50-51