Contents
Preface to the First Edition                                                                                                    vii
Preface to the Second Edition                                                                                              ix
1  Introduction                                                                                                                                  1
2 Definitions and Basic Properties                                                                                      7
2.1 Preliminaries                                                                                                                      7
2.2  Copulas                                                                                                                              10
Exercises  2.1-2.11                                                                                                               14
2.3  Sklar’s  Theorem                                                                                                          17
2.4 Copulas and Random Variables                                                                        24
Exercises  2.12-2.17                                                                                                            28
2.5 The Fréchet-Hoeffding Bounds for Joint Distribution
Functions of Random Variables                                                                          30
2.6 Survival Copulas                                                                                                          32
Exercises  2.18-2.26                                                                                                            34
2.7  Symmetry                                                                                                                         36
2.8  Order                                                                                                                                   38
Exercises  2.27-2.33                                                                                                            39
2.9 Random Variate Generation                                                                                40
2.10 Multivariate Copulas                                                                                              42
Exercises  2.34-2.37                                                                                                            48
3 Methods of Constructing Copulas                                                                               51
3.1  The  Inversion  Method                                                                                             51
3.1.1 The Marshall-Olkin Bivariate Exponential Distribution        52
3.1.2  The  Circular  Uniform  Distribution                                                      55
Exercises  3.1-3.6                                                                                                                  57
3.2  Geometric  Methods                                                                                                   59
3.2.1 Singular Copulas with Prescribed Support                                      59
3.2.2  Ordinal  Sums                                                                                                      63
Exercises  3.7-3.13                                                                                                               64
3.2.3 Shuffles of M                                                                                                      67
3.2.4 Convex Sums                                                                                                      72
Exercises  3.14-3.20                                                                                                            74
3.2.5 Copulas with Prescribed Horizontal or Vertical Sections      76
3.2.6 Copulas with Prescribed Diagonal Sections                                    84
xii      Contents
Exercises  3.21-3.34                                                                                                            86
3.3  Algebraic  Methods                                                                                                     89
3.3.1 Plackett Distributions                                                                                     89
3.3.2  Ali-Mikhail-Haq  Distributions                                                                92
3.3.3  A  Copula  Transformation  Method                                                       94
3.3.4 Extreme Value Copulas                                                                               97
Exercises  3.35-3.42                                                                                                            99
3.4 Copulas with Specified Properties                                                                 101
3.4.1  Harmonic  Copulas                                                                                        101
3.4.2  Homogeneous  Copulas                                                                             101
3.4.3 Concave and Convex Copulas                                                              102
3.5 Constructing Multivariate Copulas                                                               105
4  Archimedean  Copulas                                                                                                      109
4.1  Definitions                                                                                                                    109
4.2 One-parameter Families                                                                                       114
4.3  Fundamental  Properties                                                                                       115
Exercises  4.1-4.17                                                                                                            132
4.4 Order and Limiting Cases                                                                                   135
4.5 Two-parameter Families                                                                                      141
4.5.1 Families of Generators                                                                               141
4.5.2  Rational  Archimedean  Copulas                                                           146
Exercises  4.18-4.23                                                                                                         150
4.6 Multivariate Archimedean Copulas                                                              151
Exercises  4.24-4.25                                                                                                         155
5  Dependence                                                                                                                             157
5.1  Concordance                                                                                                               157
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