1   Preface 7
2   What is a time series? 8
3   ARMA models 10
4   The autocorrelation and autocovariance functions. 21
5   Prediction and Impulse-Response Functions 31
6   Stationarity and Wold representation 40
7   VARs: orthogonalization,  variance  decomposition,  Granger
causality 48
8   Spectral Representation 67
9   Spectral analysis in finite samples 89
10 Unit Roots 106


11 Cointegration 122
11.1  Definition   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 122
11.2  Cointegrating regressions .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 123
11.3  Representation of cointegrated system.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 124
11.3.1  Definition of cointegration  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 124
11.3.2  Multivariate Beveridge-Nelson decomposition   .  .  .  .  . 125
11.3.3  Rank condition on A(1)   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 125
5
11.3.4  Spectral density at zero   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 126
11.3.5  Common trends representation   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 126
11.3.6  Impulse-response function.  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 128
11.4  Useful representations for running cointegrated VAR’s .  .  .  .  . 129
11.4.1  Autoregressive Representations   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 129
11.4.2  Error Correction representation  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 130
11.4.3  Running VAR’s  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 131
11.5  An Example .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 132
11.6  Cointegration with drifts and trends .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 134