指的是1838年古诺Cournot)简单双寡头垄断博弈。

同一产品的古诺竞争模型

• 各个厂商同时选定产量，在均衡时，每个厂商的产量是对其他厂商产量（之和）的最优回应。两个厂商的情况下，均衡由它们的反应曲线交点所决定。

• 在均衡时，厂商1的产量q1和厂商2的产量q2互为最优回应。

• 双寡头垄断
– 两个厂商, 1 和 2.
– 产量各为 q1，q2.
– 市场需求： p=1-(q1 + q2)
– 每个厂商边际成本都是 1/3.
– 每个厂商的固定成本都是 f.

• 给定 q2, 厂商1的剩余需求是:
– p(q1)=1- q1 - q2
– TR1= q1(1- q1 - q2)
– MR1=1-2 q1 - q2

– MR1=MC 导出:
q1= (1- q2-1/3)/2

– 这个叫做厂商1的反应函数.

简例1
• 类似地，可以算出厂商2的反应函数：
q2= (1- q1-1/3)/2
• 两个反应函数的曲线的焦点就是Nash均衡。
• 这时 q1 = q2 = 2/9

同一产品的斯塔克尔伯格模型
• 领导厂商先选定产量qL让跟随厂商观察到，跟随厂商根据qL来选定自己的产量qF= f(qL)。领导厂商推导出跟随厂商的反应函数f，在选定qL时将跟随厂商的反应考虑在内。
• 注意在均衡时，qF是对固定产量qL的最优回应；但qL是对反应函数f的最优回应而不是对固定产量qF的最优回应。

简例2
• 厂商1是领导厂商，厂商2是跟随厂商.
• 计算子博弈完美均衡.
• 如果厂商1生产q1，厂商2的最优产量是：
f(q1)=(1-1/3-q1)/2 = 1/3 - q1/2

• 厂商1知道厂商2的反应函数，选取q1使利润最大化:
" 1=[1-q1-(1/3-q1/2)]q1-q1/3-f = -0.5q12+q/3-f
• 求导数得：- q1 +1/3 = 0
• 由此得到:
q1* =1/3
• 代如厂商2的反应函数:
q2*=1/3-q1*/2=1/6
• 厂商1的产量是厂商2的两倍.
限制性定价
• 在斯塔克尔伯格竞争中，如果跟随厂商的固定成本f比较高，领导厂商有可能生产高于斯塔克尔伯格均衡的产量，让市场价格足够低（如果跟随厂商也进入的话），使得跟随者得不到正常利润因而决定不进入市场。领导厂商这种行为叫做限制性定价。

简例3
• 比如接例2，假定f=1/64。在领导厂商生产q1* =1/3时，跟随厂商生产q2* =1/6，利润是2* =(q2* )2-f=1/36-1/64>0，所以跟随厂商进入。这时均衡价格是p* =1-1/3-1/6=1/2，领导厂商的利润是
" 1* =(1/2-1/3)(1/3)-1/64=0.0399…
• 如果领导厂商把产量增加到q1’ =5/12，那么跟随厂商如果进入，其最优产量是q2’=1/3- 0.5q1’ =1/8，最大利润是2’=(q2’)2-f=1/64-1/64=0；这样一来，跟随厂商就会决定不进入。这时领导厂商取得完全垄断，价格为p‘=1-5/12=7/12，利润为1’=(7/12-1/3)(5/12)-1/64=0.0885…；比斯塔克尔伯格均衡利润高很多。（在实际问题中，领导厂商会选定q1’ >5/12，保证跟随厂商进入时利润为负数。）

• 领导厂商是否应该采用限制性定价，取决于跟随厂商的固定成本f之高低；以这个例子作说明：
• f>1/36时，跟随厂商自然不会进入，领导厂商可生产完全垄断产量1/3（数量上等于斯塔克尔伯格均衡产量）；
• f<0.00238…时，限制性定价要求领导厂商生产很大的产量，即是度占市场，利润反而小于斯塔克尔伯格均衡利润。
• 只有在0.00238…<f<1/36时，领导厂商才有必要采用限制性定价。
斯塔克尔伯格产量还是阻扰进入产量？
（用倒推归纳法求子博弈完美Nash均衡）
• 倒推归纳法(Backward Induction)是从最后一步那些决策点开始计算，让决策人选定他的最优“着”，然后把相应的应得向量前移到这个决策点上，将这个决策点作为新博弈的终点。这样一步一步地把博弈树简化，直到把所有决策点上的选着都确定，就得到一个子博弈完美Nash均衡。
• 当博弈本身有完美信息时(没有气球或虚线)，用上述方法一定可以算出一个子博弈完美Nash均衡。

限制性定价的博弈树

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Cournot and Stackelberg Equilibria-profit curve if incumbent can move first：

Incumbent Commits to a Large Quantity to Deter Entry incumbent moves along thick line ：

Incumbent Loss if it Deters Entry Incumbent goes to highest point on thick：

在位厂商吓阻对手的其他策略
• 增大投资
• 提高自己的固定成本减低边际成本
• 提高自己成本同时提高对手的成本

Investment Game Tree: investment is profitable only because it deters entry Raising costs as strategy!：

• Firm investing in high fixed cost low marginal cost technology to deter entry
Fig : firm precommits itself to higher output so deters entry though makes less profit than if entry impossible
• Raising rivals’ costs and your own: you can afford it but they can’t

“Raising rivals’ costs”
• “Chicago” people say it is impossible but recent work says it is possible
• Simplest tactic is to raise both your own and their costs when you can afford it but they can’t eg:
– printers’ wages
– advertising and other sunk costs of entry
– demand higher cost safety standards you can afford but others can’t demands for quality standards often led by dominant firms not consumers cf WTO
• Advertising war between 2 incumbents may be designed to raised fixed costs for new entrants

Raising-Costs Game Tree $4 cost increase for rival enough to cause them to lose money：

限制性定价VS斯塔克尔伯格策略：

伯特兰价格竞争模型
• 各个厂商同时宣布自己产品的价格；均衡时每个厂商的价格都是关于对手们价格的最优回应。
• 同一产品的价格竞争，如果各个厂商的成本完全相同，那么在短期均衡时各个厂商的定价都等于边际成本，在长期均衡中，定价等于最小平均成本。在这个意义上，同一产品的价格竞争和完全竞争结果相同。
• 寡占垄断下同一产品价格竞争容易导致协调或共谋；另一些情况下会导致产品差异化。
非完全替代产品的价格竞争
• 用一个简单例子作说明：两个厂商1, 2各生产产品a, b; 需求函数分别是
pa=1-qa-sqb, pb=1-qb-sqa
各个厂商的固定成本是f，边际成本是0。从上边两个方程解得
qa=(1-s2)-1[(1-s)-pa+spb], qb=(1-s2)-1[(1-s)-pb+spa]
• 将厂商2的价格pb视为给定，厂商1选取价格pa使利润最大化：
max 1=(1-s2)-1[(1-s)-pa+spb]pa-f
=(1-s2)-1[-pa2+(1-s+spb)pa]-f
由一阶条件算出厂商1的反应函数: pa=0.5(1-s+spb)

非完全替代产品的价格竞争
• 同样可以算得厂商2的反应函数：
pb=0.5(1-s+spa)
• 由此解得
p*a=p*b=0.5(1-s)/(1-0.5s), q*a=q*b=0.5(1+s)-1(1-0.5s)-1
• 注意，价格竞争中，对手的价格越高，自己的价格也越高，反应曲线的斜率为正。这和产量竞争的情况不同。
• 当s趋向1时，两种产品趋向同一产品，均衡价格趋向边际成本。
依次定价竞争模型的后行者优势
• 在产量竞争的斯塔克尔伯格模型中，先行者可以占有较大的市场份额因而获得较高利润；这叫做先行者的优势。与此相反，在依次定价的竞争模型中，后行者可以选定低一些的价格，吸引较多的顾客，取得较高利润；这叫做后型者的优势。（或者说，在价格竞争中往往可以后发制人。）

简例4
假设：qa=0.5-pa+0.5pb, qb=0.5-pb+0.5pa
如果两者同时定价，反应函数是：
pa=0.25(1+pb), pb=0.25(1+pa)
均衡价格是：p*a=p*b=1/3
各个厂商的利润为：
a=a=1/9-f=0.111111-f

假设厂商1先行选定pa；厂商2的最优回应是：
pb=0.25(1+pa)
将厂商2的反应计入，对厂商1产品的需求量是：
qa=0.5-pa+0.5pb=0.625-0.875pa
厂商1的利润为：
a=pa(0.625-0.875pa)-f
p’a=5/14, ’a=(0.875)(5/14)2-f=0.111607
厂商2的价格利润分别为p’a=19/56, ’a=0.115115

依次定量竞争与依次定价竞争的比较
• 依次定量竞争中先行者有优势，占据的市场份额比古诺竞争的大，利润比古诺竞争得大；后行者占据的市场份额比古诺竞争的小，利润也比古诺竞争的小。
• 依次定价竞争中后行者有优势，价格比伯特兰的高些而比行者的低些，利润比先行者高些，而两者的利润都比伯特兰的高些。

产量竞争还是价格竞争
• 一般来说，改变产量不容易而调节价格相对容易的产业（比如制造业农业等），其竞争主要表现为产量竞争，选定产量后按市场需求迅速调价让市场出清。调节产量比较容易的产业（比如软件和很多其他信息产品），其竞争主要表现为价格竞争，选定价格后按市场需求迅速提供产量。
市场协调行为
• 同一市场上的企业为了某些目标采取互相协调的市场行为成为市场协调行为。一般而言，企业协调市场行为的目的是为了获取更高利润。
• 最重要的市场协调行为是价格协调行为。卡特尔则是价格协调行为的代表性例子。最有影响的卡特尔是石油输出国组织（OPEC）。
• 价格协调使得总产量减低，价格升高，各企业的利润提高，总福利减低。

重复竞争可以导致隐性共谋
• 我们曾经说过，竞争有可能导致产品差异化或者共谋。在企业数目很少时，隐性共谋比较容易产生。
• 以两个空间位置相同产品同一的企业为例，假定对产品的总需求（反）函数是P=1-Q，而每个企业的固定成本边际成本均为0。那么， 每个企业可以心照不宣的生产0.25的产量，使总产量Q=0.5（完全垄断产量），把价格定为0.5，各自利润为0.125。
• 如果对手不破坏默契，双方的利润每一期都等于0.125。
• 如果对手破坏这个默契，把价格定为比0.5略低，那么他拉走所有顾客，得到一期利润0.25。与此同时自身的本期利润为0。
• 为了确保对手不破坏默契，每个企业可以选用默契-惩罚策略：发现对手破坏默契之前把价格定为0.5，一旦发现对手破坏默契，从下一期开始就把价格定为0 (边际成本)。
• 在默契-惩罚的策略之下，对手无意破坏默契: 如果依照默契，对手的利润流序列是：0.125, 0.125, …；反之，他的利润流序列是：0.125, …, 0.125, 0.25, 0, 0, …。只要他对下期利润的贴现率不太小（不小于0.5），他就不会首先破坏默契。
• 用博弈论的语言来说， 当企业的数目很小时，无限次的重复竞争很容易导致隐性共谋。而上面的默契-惩罚策略支持了一个子博弈完美的重复博弈的Nash均衡。

当企业数量很多时隐性共谋的不可能性
• 还是基于上例得数据，但假定企业的数目为10。在隐性共谋时，价格定为0.5, 各个企业的产量是0.05，利润是0.025。如果一个企业破坏默契而其他企业遵守，这个企业一期利润可达0.25；只要贴现率小于0.9，这个企业就有动机破坏默契。
• 企业数量很多时隐性共谋的不可能性还在于当有人破坏默契时，其他企业要联手惩罚破坏者的协调很难达成。

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