蒙特卡罗模拟又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，具体使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。

蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。其实在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。1777年，法国Buffon提出用投针实验的方法求圆周率。这被认为是蒙特卡罗方法的起源。

       由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡罗法正是基于此思路进行分析的。

1.1 积分模拟计算

      利用蒙特卡罗模拟方法，原理比较简单，首先生成需要计算的函数：>f <- function(x) exp(x^2)然后进行计算，考虑到积分计算近似于N个正方形相加，每个正方形的长度为exp(xi)，宽度为1/N，面积为exp(xi)* 1/N，再把每个面积加总，即为函数的平均值，命令为：> mean(f(x))[1] 1.462684毫无疑问，一些积分得不到解析式结果的话，利用这种方法计算会非常方便。

1.2 圆周率计算

                                                                        图2.39    随机模拟圆周率

        计算下面自建一个函数calpi，用于计算圆周率pi。具体如下：

>calpi <- function(n){

>  count <- 0

>  for( i in 1:n){

#用循环进行计算

>    x <- runif(1,0,1)   #产生均匀分布随机数

>    y <- runif(1,0,1)   #产生均匀分布随机数

>    if (x^2 +y^2 <= 1 )

>      count <- count+1 } #判断点是否位于圆内

>  return(4*count/n) } #返回计算结果

在此基础上运用10000随机数，得到的结果为：

>calpi(10000)

[1] 3.1644

精度不算高，进一步提高随机数的数量，令为10000000，但需要花较长的时间，并计算所花的时间，对应命令为：

>t0 <- Sys.time()

>calpi(10000000)[1] 3.141121

>t1 <- Sys.time()

>t1-t0

Time difference of25.51678 secs   

   精度在大幅提高，但时间为25秒，相对较长。因此，需要进一步提高软件的运行效率。一般而言，为了提高R语言的运行效率，尽量采用以下原则：

   第一、避免循环，采用向量化方法进行分析，如常用的for改成apply等函数进行分析，或者利用内置函数rowSums等避免循环；

   第二、预先给对象分配内存，且减少cbind和rbind等函数的使用；

   第三、运用并行计算工具包，如parallel、foreach等工具包进行分析。

  基于此，下面对代码进行优化，提高运行效率，把循环变成矩阵形式，并进一步利用rowSums函数筛选出 上面红色的点，同时计算运行时间，具体如下：

>N <- 100000000

>t0 <- Sys.time()

>x <- matrix(runif(2 * N), ncol = 2)

>4*mean(rowSums(x^2)<=1) [1] 3.141599

>t1 <- Sys.time()

>t1-t0

Time difference of11.34028 secs

可以看出，利用矩阵、内置函数rowSums和mean，使运行效率大幅提高，时间从25.5秒下降到11.3秒，几乎缩短一半。

        感兴趣的读者可进一步参考《量化投资基础、方法与策略——R语言实战指南》，里面详细介绍R语言的入门，并介绍如何利用R语言进行量化投资。