金融随机分析
1. Measure Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Uniform Integrability . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Monotone Class Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Discrete Time Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1. Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Stopped Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3. Martingale Transforms . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4. Doob’s Upcrossing Inequality . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5. Martingale Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6. Reverse Martingale Convergence . . . . . . . . . . . . 16
2.7. Doob Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.8. Optional Stopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.9. Maximal Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Discrete Time Option Pricing . . . . . . . . . . . . . . . 25
4. Continuous Time Martingales . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.1. Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2. Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3. Martingale Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4. Stopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.5. Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.6. Local Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.7. Maximal Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5. Stochastic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.1. Predictable Sets and Processes . . . . . . . . . . . . . 49
5.2. Dol´eans Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3. Square-integrable Martingales . . . . . . . . . . . . . 54
5.4. Locally Square-integrable Martingales . . . . . . . . . . 61
5.5. Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.6. Martingales of Bounded Variation . . . . . . . . . . . . 68
5.7. Semimartingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.8. Quadratic Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.9. Predictable Quadratic Variation . . . . . . . . . . . . 82
5.10. Itˆo’s Formula for Continuous Processes . . . . . . . . . 89
5.11. Space of Square-integrable Martingales . . . . . . . . . 92
5.12. Itˆo’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6. Stochastic Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.1. L´evy’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2. Brownian Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.3. Exponential Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.4. Cameron-Martin-Girsanov Theorem . . . . . . . . . . . 111
7. Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . 121
7.1. Strong Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.2. Martingale Problem and Weak Solutions . . . . . . . . . 131
7.3. Markov Property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8. Option Pricing in Continuous Time . . . . . . . . . . . . . 140


金融随机过程
1. Pricing derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Hedging a Forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Note on Continuous Compounding . . . . . . . . . . . . 3
2. Binomial Tree Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1. One Period Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Two Period Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3. N Period Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. Discrete Time Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . 10
3.1. Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2. Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3. Filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4. Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.5. Change of Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.6. Martingale Representation . . . . . . . . . . . . . . . 15
4. Binomial Tree Model Revisited . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1. Towards Continuous Time . . . . . . . . . . . . . . . 20
5. Continuous Time Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . 23
5.1. Stochastic Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2. Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.3. Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.4. Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.5. Generalized Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . 25
5.6. Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.7. Stochastic Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.8. Geometric Brownian Motion . . . . . . . . . . . . . . 29
5.9. Stochastic Differential Equations . . . . . . . . . . . . 29
5.10. Markov Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.11. Quadratic variation - revisited . . . . . . . . . . . . . 30
5.12. Itˆo Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.13. Girsanov’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.14. Brownian Representation . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.15. Proof of Theorem 5.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.16. Stopping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.17. Extended Stochastic Integrals . . . . . . . . . . . . . 39
6. Black-Scholes Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.1. Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.2. The Fair Price of a Derivative . . . . . . . . . . . . . 42
6.3. European Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.4. The Black-Scholes PDE and Hedging . . . . . . . . . . 45
6.5. The Greeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.6. General Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.7. Exchange Rate Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . 48
7. Extended Black-Scholes Models . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.1. Market Price of Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.2. Fair Prices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.3. Arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.4. PDEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
8. Interest Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.1. The Term Structure of Interest Rates . . . . . . . . . . 57
8.2. Short Rate Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.3. The Hull-White Model . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.4. Pricing Interest Rate Derivatives . . . . . . . . . . . . 66
8.5. Examples of Interest Rate Derivatives . . . . . . . . . . 68
9. Risk Measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.1. Value-At-Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.2. Normal Returns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.3. Equity Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.4. Portfolios with Stock Options . . . . . . . . . . . . . 77
9.5. Bond Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.6. Portfolios of Bonds and Swaptions . . . . . . . . . . . 80
9.7. Diversified Portfolios . . . . . . . . . . . . . . . . . 82