是的,我们可以利用拉格朗日方法推导出消费者支出最小化问题解的一阶条件,也就是楼上朋友推导出的那两个方程.更确切地讲,两种物品情形下,一阶条件应该有三个未知数,三个方程,楼上朋友没有涉及拉格朗日乘数,所以也就少了一个方程.

现在,我们讨论的是解的存在性,因此我认为仅仅推导出一阶条件方程组是不够的:现在还面临两个问题:

(1)一阶条件方程组是否有解.如果要使用拉格朗日定理来证明解的存在性,那么首先就要假设支出最小化问题一定有内点解,而这正是我们要证明的！

(2)即使一阶条件方程组有解,那么这个解并不一定就是支出最小化问题的解.因为,一阶条件只是最小化问题解的必要条件,并不是充分条件.当然如果我们能证明条件的充分性就好了(就象证明消费者效用最大化一阶条件的充分性那样).

因此,我觉得还有进一步思考的必要,也希望大家都参与到讨论中来.

pretty-boy,我看的是上海财大出版社的那本高微,Jehle和Reny著的.

最后,还要请教你一个问题:怎样才可以将word文件转换成GIF图片,并张贴到论坛上呀?讨论时能把公式写出来,效果要好很多,就象你做的那样!

谢谢!

可以用WORD软件中的绘图工具。绘完图后按下PRINT硬拷贝键将图粘贴到附件中的画图软件里面，然后选取所需要的区域进行剪切或复制，新建一个画图窗口，将你复制的部分粘贴到里面（同时可以进行修饰）。然后保存，选择GIF格式保存就可以了。

接下来继续做这道题：

其他多种商品组合的问题同理证明。

晕!我在附件里没找到画板,windows里也没有找到画板的执行文件,难道被删了?pretty-boy,你知道怎么恢复吗?不用画板行不?用ACDSEE或PHOTOSHOP可以吗?哎...可是这两个软件我都不是很会用,有谁可以教教我吗?

不好意思,也许我没有把自己的意思表达得很清楚.你在楼上的分析的前提是我们可以获得方程(1).但这是支出最小化的一个必要条件.也就是说,只有在最优点处,我们才有两种物品之间的边际替代率等于它们价格的比率.你在6楼推导方程(1)时,使用的一阶条件是一个必要条件,即要先假定最小化问题有解,方程(1)才成立.

你说的我理解，在运用数学工具时，我们当然可以先假设解是存在的，然后进行论证，如果求得的结果存在那么假设成立，如果推出矛盾那么假设不成立。我们最后得出了确切的解，所以假设是成立的。

在数学中我们经常使用这个方法（具体叫什么反证法还是其他的我就记不得了：p），我想高中就已经用这个方法了。

对于多种商品组合我们仍然运用商品的边际技术替代率等于价格之比，把其他商品的数量用X1表示论证方法同上。

对于你问的画图软件的问题，其实用其他的图文软件一样可以使用，只要编辑好后记得在保存时选择GIF格式保存就可以了。

是的,我同意你的分析.

我记得解方程组都是用的你提到的思路:我们首先假设方程组有解,也就是方程组是成立的,然后我们去解方程组.如果能够获得一组有意义的解,那么我们在求解方程组的同时,也自然证明了方程组有解(我自己讲这句话都觉得好拗口!).

但是,在你上面的分析中,我思考了两个问题:

1.因为我们并不知道效用函数的具体函数形式,所以你分析的结论是:这个方程组一定有解,可是并没有给出具体解的形式.你觉得这是不是有一点循环论证的意思呢?

2.如果你把拉格朗日乘数考虑进来,你就会发现:要使方程(1)成立,拉格朗日乘数必须存在,并且不为零.而拉格朗日定理告诉我们,证明拉格朗日乘数存在的前提条件就是要假设最小化问题有解.

再次谢谢你的帮助!

就在"所有程序"里的"附件"----"画图"就可以了

这是很常用的方法,也是最简单的方法

别的很少用的

给定p，p'x=e是超平面（给定了p，相当于给定了该超平面的“斜率”，则该超平面的位置完全由e确定。而p严格大于0，说明该超平面是斜的，不会与哪个坐标超平面平行）。

u(x)>=u0是超曲面u(x)=u0的“上截集”。（给定p与u0）最优解（支出值）即：与上截集u(x)>=u0有公共点的且位置最低的超平面p'x=e所对应的e值。

就一般情形而言，给定一个闭的连通的空间点集（只要这个点集别太特殊）——上截集u(x)>=u0虽然不是完全闭合的，但它“有一侧”是闭合的。我们总能找到一个与该空间点集有公共点的且位置最低的超平面p'x=e。这就是支出函数的存在性：试想，我们总能找到一个给定斜率的超平面，使该空间点集完全处于该超平面的一侧，且该超平面与该空间点集有公共点。——当然，这也是有条件的，前面所说的其实就是支出函数的存在性条件。

支出函数的存在性完全取决于上截集u(x)>=u0与超平面p'x=e的性状（不单理解为“形状”，包括x的定义域、位置等等）。比较显然的，如果上截集u(x)>=u0是完全开的，对应这样的u0，就找不到支出函数值了。

先考虑特殊情形。u(·)是拟凹函数，等价于u(·)的任一上截集都是凸集。由凸集分离定理，如果p'x=e与上截集u(x)>=u0没有公共点，则总存在一个（与它们都没有公共点的）超平面将它们分在两侧。上截集的下侧是闭合的，我们可以通过无限靠近得到支出函数的值。

十分感谢sungmoo版主给予的帮助！！

版主的思路我懂了．请问：

(1)u(·)是否还需要是连续且严格递增的呢?

如果我们加强前提,u(·)是连续且严格递增的,那么在p严格大于0时,最小化问题的约束条件必定是束紧的,也就是说,若存在最优解,最优解点必定在超曲面u(x)=u0上.同时,如果u(·)是连续且严格递增的,我们可以证明超曲面u(x)=u0的补集是一个开集,即超曲面u(x)=u0本身是一个闭集.那么,一个很重要的问题是:我们是否能更进一步地证明超曲面u(x)=u0还是一个有界集呢?如果可以的话,那么超曲面u(x)=u0就是一个非空的紧集.同时,支出p'x是连续的,我们就可以利用Weierstrass定理来证明支出函数的存在性.

(2)我们是否还有必要根据你的思路,给出更严谨的证明呢?还是说,以你的分析进行理解就可以了呢?

再次感谢你的指点与帮助!

这里的关键是：“支出函数被良好定义”。

你要得到什么样的支出函数，就可以根据你的设想对u(·)做出特定的限制。（当然x的定义域的细节也应该注意到）

前面所说的，还不能保证“支出函数被良好定义”，只能是确定支出函数存在的原则。这里有一个关键原因正是，什么才算“支出函数被良好定义”。我们其实是要根据“被良好定义”的解释反过来对u(·)提出要求。不给出“支出函数被良好定义”的精确而完备的表述，就无法找到相关的严格条件。

先应该为超平面p'x=e设定一个“正方向”（确定正方向的目的在于指出规划的目标是“最小化”），（对于给定的p与u0）支出函数存在的必要条件是，上截集u(x)>=u0完全在超平面p'x=e正方向一侧（这里并不用强调u的增减性与连续性）。

在经济学里，超曲面u(x)=u0没必要是有界的（当然这也应该由经济学思想来规定），其实它就是“无差异曲线”的一般形式（或者说“无差异超曲面”——等势超曲面）。

个人以为，从纯数学理论出发分析支出函数的存在与特征，非常有助于理论能力的提高，但经济学分析也没必要太纠缠于其中。物理学运用数学也不是“一丝不苟”的。这主要是因为，为了精确保证“支出函数被良好定义”，我们所需要做的刻划太多（关键是，我们的任务不主要在此）。如果不为这些刻划所“惑”，倒也无妨——也就是说不因为此耽误了经济学研究的前进；如果感觉其中细节太多，我们就不得不采用“粗粒化”的方法，用“支出函数已被良好定义”来概括我们想找到的那些条件。这种概括是一种含混的表达（经济学里常采用这种表达），但并不表达我们对此问题的含混（如果“较真”，我们可以进一步沿着确定的方法去细琢磨），而是表达我们要突出更重要的其他问题。

《论语》中有一句名言，对于处理经济学与数学的关系可能特别贴切：“学而不思则罔，思而不学则怠。”这里的“学”，相当于对数学知识的学习与对精确数学表述的追求；这里的“思”，相当于对经济学思想内容的学习。

回到原问题本身，我觉得给出支出函数存在性的某些充分条件或必要条件并不难，给出其充要条件则比较麻烦。这不仅有数学上的原因，还有经济学思想上的原因，我们给出的数学条件也不能太“离谱”——脱离经济学思想。

而给出“被良好定义的支出函数”存在性的充要条件更难了。

这里可以给出经济学里常使用的一个充分条件（如有不对，请大家指正）。

（定义域内）偏好的凸性等价于效用函数的拟凹性，等价于效用函数的任一上截集恒凸。我们进一步假设效用函数是连续、单调、拟凹的，则上截集u(x)>=u0必是凸集。而超平面p'x=e也是凸集。确定了超平面p'x=e的正方向后，上截集u(x)>=u0则是“向下闭”的。我们总能找到一个e，使得上截集u(x)>=u0完全在超平面p'x=e正向的一侧（这是两个凸集间关系的性质）；再变化e，使两个凸集不断逼近，找到它们的公共点。

sungmoo版主说的每一句话我都仔细学习了,获益非浅.同时,也使我更明白了在今后的学习中应该如何处理数学与经济学之间的关系.

版主应该是一位优秀的老师吧?!(如果我猜错了,请原谅.)因为你的讲解使我想起了一位老师的责任:"传道,授业,解惑."

如果版主有时间,是否可以就一个相关的问题,对我再进行一下指点呢?问题在我下面的一个帖子"求教一个高级微观问题！！"中.

再次表示感谢!

最小化的问题可以转换成它的对偶问题来求解

楼主的问题是效用约束下的支出最小化

其对偶问题就是支出约束下的效用最大化

这一对问题解的特征是一样

楼主问题的对偶命题为

max u(x)

s.t. px<=I

上面这个问题谁都知道必定有解

那么楼主的问题

min px

s.t. u(x)>=u

显然是必然有解的

附：

max u(x)

s.t. px<=I

通常经济学中经常使用的假设条件下该命题解存在的充分必要条件为其海赛加边矩阵是非负定的

更多的内容请参考相关资料，不再赘述……

使用“海赛加边矩阵”，要求函数连续且各种二阶偏导数存在。更一般的情形，如何应对？

一个问题在什么条件下才有其对偶问题？

更一般的情形咋办我不知道，但既然在连续性条件下成立的东西，那么在离散的情况下也都会有差不多的结果

“貌似”很多情况下正是在离散的情况下不易看出来的特征在连续性假设下比较容易得到吧

你学的东西比我多，应该知道的也多些。

任何线形规划都是成对出现的，互为对偶问题的命题其解的特征是一样的

我也有同样的疑问：

效用最大化问题的解与支出最小化问题的解之间是存在对偶性，但是我们在证明对偶性之前是否必须假定支出最小化问题已经有解了呢？

如果可以的话，请楼上朋友再解释一下，谢谢。

我明白你的意思了

考虑这样的逻辑：

1。如果有解，则命题满足一组条件S1，称为有解的必要条件

2。如果命题满足一组关系S2，则有解，那么S2称为有解充分条件

不用假设有没有解，只要知道有解的充分条件就可以了

楼主的命题有解的充分条件是效用函数是凹函数（不必是严格的凹函数）

通常效用函数是被假设为拟凹，所以满足有解的充分条件，所以楼主的命题有解

做对偶变换是完全没必要的，之所以作这样的变换是因为变换后的命题是经济学中的基本命题，其结论也是广为人知的，更容易做直观上的判断。如果是考试的话三秒钟内就直接可以得出原命题解存在的充分条件了。

如果不做这样的变换，也可以得出解存在的必要条件，只不过要花3分钟来多写点推导而已。