请重新下载更新过的文件。

今天又更新过了，重新证明了夹角的互易性（可惜，只证出了四维空间的情形）。

哎 好是好 可惜花了我两个论坛币呀！！！！！！！！！！！！

              好消息！

     在河风海韵论坛星鼠网友的提醒下，夹角的互易性定理的证明中的错误已经获得纠正，《高维欧氏几何学》的理论层次又提高了一个等级！
    在此，特向星鼠网友致以诚挚的谢意！
    几个月过去了，夹角的互易性定理的证明终于有了最后的结果！大家可以浏览一下，就可知其证明的难度。为此，我还曾在网上征集众网友参与证明，并许诺谁最先证明出来，就以他的姓名来命名这个定理。现在，看来还是我抢先完成了，我感到无比荣幸之至！

回复楼上，是系统自动完成的，不是我设置的。