Contents
1 Introduction 2
2 Hidden Markov Models - HMM 3
2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Graphical representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.1 Filtered estimates of the latent states . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.2 Smoothedestimates of the latent states . . . . . . . . . . . . . 8
2.3.3 Grad ientmethod s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.4 Amore general filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3.5 Missing values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Statistical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Modelling health and wealth evolution using HMM 11
3.1 A probabilistic model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1.1 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.2 Id entification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Specification Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1 Testing independence of Y ’s given X . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 Testing the first order Markov assumption . . . . . . . . . . . 16
3.2.3 Causality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Forecasting, policy analysis and further studies . . . . . . . . . . . . . 17
4 The AHEAD Panel Data 18
4.1 Sample Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Wealth d ata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 Illustrative results 19
6 Final remarks 20
A Tables 23