不知道这道题的出处，但解法倒也不难。假设x是一个bidder的定价，pi(x)是出价方程，f(x)和F(x)分别是density和cumulative probability functions of bidder valuation。那么解为
pi(x)=[int{x*f(x)/beta/F(x)*e^(int(f(x)/beta/F(x)*dx)*dx]/[e^(int(f(x)/beta/F(x)*dx)]

这道题还比较有意思。收益是不会随beta变化的，对于standard auction来说，所有auction format收益都相同。

要想了解解题方法，可见Vijay Krishna的auction theory一书，读第13到17页足矣。