wenyu 发表于 2010-4-8 10:54
我觉得lz还是没有把握好线性空间的理解，而且角度是错的。事实上，由线性空间的定义，它是一个代数概念，与拓扑性质毫无关系。任何代数空间=满足某些性质的集合+定义在集合上的一组运算，对应到线性空间的话，看看高等代数的书就知道，这里的运算是指线性运算，即加法和数乘，而集合则是要在线性运算封闭，即元素之间的线性运算不能产生新元素，当然，集合还要满足一些基本的规划化条件。而任何空间中的变换都是以空间的运算为基础的，对应到线性空间，线性变换无非是加法与数乘的（有限）组合。
另外，文中有不少硬伤：
比如：
L2. 闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性空间。也就是说，这个线性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就是说，完全相等。这样就把问题归结为L1了。后面就不用再重复了。
事实上，魏尔斯特拉斯定理根本不是这么一回事，我举个反例，指数函数exp（x）就是不可能等于任何多项式的有限和，看看他的幂级数展开就知道，他可是个多项式的无穷和
再比如：
矩阵是线性空间里跃迁的描述
事实上，矩阵与线性空间里面的线性变换一一对应，如果不对空间赋予拓扑结构，连续性无从谈起，“跃迁
”更是无稽之谈，说成“对应”还差不多。

综上，我可以断定，写这个东西的人绝对不是正规数学系出身的，很可能是个工科数学老师。当然啦，文中有些观点还是可以借鉴的。