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Elementary Linear Algebra（2010版）
作者：K. R. MATTHEWS
Contents
1 LINEAR EQUATIONS 1
1.1 Introduction to linear equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Solving linear equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 The Gauss–Jordan algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Systematic solution of linear systems. . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Homogeneous systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 MATRICES 23
2.1 Matrix arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Recurrence relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Non–singular matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Least squares solution of equations . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 SUBSPACES 55
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Subspaces of Fn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Linear dependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.4 Basis of a subspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 Rank and nullity of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 DETERMINANTS 71
4.1 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5 COMPLEX NUMBERS 89
5.1 Constructing the complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2 Calculating with complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3 Geometric representation of C . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.4 Complex conjugate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.5 Modulus of a complex number . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.6 Argument of a complex number . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.7 De Moivre’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.8 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6 EIGENVALUES AND EIGENVECTORS 115
6.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2 Definitions and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.3 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7 Identifying second degree equations 129
7.1 The eigenvalue method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.2 A classification algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.3 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8 THREE–DIMENSIONAL GEOMETRY 149
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.2 Three–dimensional space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.3 Dot product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.4 Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.5 The angle between two vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.6 The cross–product of two vectors . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.7 Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.8 PROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
9 FURTHER READING 189